Congruence des normales, normalies

Ecrivons Téquation de la iiorinale à la sui'face en un point de coordonnées x,y,z; X Y Z, sont les coordonnées courantes (^ij 375) :

r= = — [L — z), OU encore :

X, ?/, z, p, q, sont des fonctions des deux variables x, y; les normales forment donc une congruence. A la vérité, cette congruence n'est pas la plus générale ; toute congruence ne peut pus être considérée comme formée par les normales à une surface. Mais les théorèmes généraux s'appliquent évidemment à la congruence des normales comme aux autres.

Donc par toute normale passent deux surfaces développables formées d'autres normales; on les appelle normalies (§ 435).

Il s'agit de grouper les normales suivant les normalies.

Ces normalies coupent la surface suivant deux faisceaux de courbes qu'on appelle lignes de courbure ; piw tout point de la surface passent donc deux lignes de courbure. Il revient au même de déterminer les normalies ou les lignes de courl)ure (fig. 291).

Puisque nous prenons x et y comme variables indépendantes, tout point P de la surface est déterminé par un point P' du plan xOy ; nous élevons en ce point une perpendiculaire sur laquelle nous prenons une longueur P'P convenable. Déterminer les lignes de courbure revient donc à tracer leurs projections sur xOy ; en particulier, à déterminer à partir de tout point P' de ce plan les pentes dy \ dx de ces projections.

Ecrivons donc que les normales voisines du point P, dont les pieds sont sur une certaine courbe PP^ de projection P'P'i, se coupent. Rappelons qu'on pose :

P—hx '

Fig. 291.

à'rz

àx'-

àx 6y ày

^— ày '

ôp

dy •