Lignes de courbure
1". — On a pour deux points voisins
(2) Remplaçons les (|U()tients différentiels par les notations convenues. Posons l = (h/ : (Ix; retranchons (1) de (2); néj^li^eons les quantités du second ordre. Il reste :
-i+{r + s\){Z-z)-p(p + ql) = 0,
7^-^^i'i+l''-+P'A):(r + sl). (3)
Recommençons les mêmes calculs pour la seconde équation de la
normale : (Y — ?/) J^q(7. — z) = 0. (4)
On trouve :
^". — L'é(juation (1) représente un plan M parallèle à 0?/ ; Técjua-
tion (2) représente un plan voisin M' également parallèle à Oy. Ils se coupent suivant une droite D évidemment pandlèle h 0?/.
L'équation (4) représente un plan N parallèle à Ox ; son intersection avec le plan voisin est une droite D' parallèle h Ox. Pour que les normales se coupent, il faut que D et D' se coupent, par suite que les équations (3) et (5) fournissent les mêmes valeurs pour
Z = ÂB = GE.
En effet, si (juatre plans passent par un point, leurs intersections prises deux à deux passent toutes par ce point.
On a donc la condition :
\p'l + {i+q')l]{r + s\) = {l-{-p^+pql){s + tl).
(6) S"". — Gomme nous l'avons prévu , nous trouvons pour chaque point P de la surface deux directions (correspondantes aux directions I sur le plan xOy) pour lesquelles les normales infiniment voisines se coupent : elles déterminent par définition les éléments des lignes de courbure (jui passent par le point P. De P nous allons en P^. Recommençons le calcul pour P, : nous déterminons un nouvel
Fig. 2î>2
COUBBURES DES SURFACES
élément PjPa de la même lig-ne de courbure. Et ainsi de suite. Nous traçons ainsi une ligne tout le long- de laquelle les normales à la surface rencontrent les normales infiniment voisines.
4". — Les normales à une surface forment donc deux faisceaux de surfaces développables. Les arêtes de rebroussement de ces surfaces constituent une surface à deux nappes qui est la caustique (§ 435) de la surface primitive. L'Optique géométrique se réduit à
l'étude des caustiques de surfaces particulières dites surfaces d'onde. j°. — Le calcul fournit Téquation des lignes de courbure. Résolvons (G) par rapport à I :
Litégrons ; nous obtenons, grâce à la constante arbitraire d'intégration^ un faisceau de courbes qui sont les projections sur xOy de l'un des faisceaux des lignes de courbure.
La lîgure 293 représente une surface, les faisceaux des lignes de courbure et les arêtes de rebroussement qui correspondent à deux d'entre elles. Elle est complétée par la figure 300.
