Ombilics

/**. — Cherchons les conditions pour qu'un point de la surface soit un ombilic. 11 faut que l'indicatrice y soit un cercle, par conséquent que les sections principales ou les lignes de courbure y soient indéterminées.

Ecrivons donc que dans l'équation (6) du § 457, les coefficients des puissances de I (y compris la puissance 0) sont nuls. On trouve les

deux conditions : — '— ^- = — ^-^—=i^-^-, (\)

^°. — Ellipsoïde. — Cherchons les ombilics de l'ellipsoïde :

On trouve aisément :

d^x c^y c^xy

P~~~l^' ^"^""/jV' ^~~^T}H^

b^c^z'' -\- ày^ a^c^-s- + c'x^

On vérifiera qu'il existe douze ombilics, quatre dans chacun des plans de symétrie.

Seuls sont réels ceux du plan xOz^ dans l'hypothèse a^b^c.

Posons ^=r=0; ^^5 = 0; des équations (1), il ne reste que la première, puisque le rapport pq : s est indéterminé. On trouve :

a V a2 jf.

Cette formule concorde bien avec celle du J^ 340, qui donne les directions des traces sur xOz des sections circulaires. Les directions que nous venons de déterminer sont, en effet, les conjuguées des précédentes.

Or nous savons (§ 111) que le produit des pentes de deux directions conjuguées, dans une ellipse dont les axes sont a et c, est — c- ' a-. Corrélativement on a :

^. /y^^ — c" c I a" — b'' __r a V a^ — b^ • a V Jj^ — d" ~~ '^- '

S'\ — Paraboloïde elliptique.

a^-\-x^ xy 1 b''-\-y'^

Il faut poser x = 0, ou yz=0.

Pour icrz=0, on a : y = ±. V^^' (a' — ^'j , z = {a'- — b~) : 2.

Il existe donc deux ombilics dans le plan yOz. Ils sont réels si a^b. Pour y = 0, on trouve deux nouveaux ombilics évidemment imaginaires.

Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse. 35

Ce résultat pouvait aisément se ])révoir en cherchant à quelle condition les sections du paraboloïde eUiptique sont circulîures (sections cycliques). Le plan tangent parallèle aux plans cycliques touche la surface suivant un ombilic.

4". — La surface réelle dont tous les points sont des ombilics, est la sphère.