Points paraboliques; surfaces développables

i", — Aux points ])aral)oli(pu's , riiidicatiice se réduit à deux droites parallèles (§ 4o3, 4") :

rx- -\- '2s.ri/ -\- tif-,

est un carré parfait; d'où la condition ri — .s-^^O.

Un des rayons de courbure principaux est infini ; la section principale correspondante est paridlèle aux deux droites (jui constituent l'indicatrice,

i^". — Nous avons démontré, au v< 416, (|u'en tout pcnnt d'une surface développable la condition rf — .s'-r=:0, est satisfaite. Elle exprime que tous les points duiie telle surface sont paraboliques, (ju'en tous les j)oints un des rayons de cnuvhuvo j)rincij)nux est infini. La section principale correspondante est la j^énéi'jdrice rectiligne.

Pju' suite, un des faisceaux de lignes de courbure des surfaces dévelopj)ables est constitué par les générjdi'ices ; les normalies correspontlantes sont des plans. L'autre faisceau se compose des courbes orthogonales aux génératrices, si l'on veut, des développantes gauches de l'arête de rebroussement (n; 427).

Sur un cylindre, ces courbes sont des sections droites; sur un cône, ce sont les intersections par les sphères ayant leurs centres au sommet.

,f\ — Sur l'ai'éte (h' rebroussement , un des rayons de courbure ])rincipaux est nul, l'autre étant fini ou infini : tous les rayons de courbure sont donc nuls, sauf ce dernier. On i)eut considérer l'indicatrice comme formée de deux droites confondues; c'est pourquoi nous rapprochons ce cas des points parabolitpies. Comme limite, tous les rayons de courbure peuvent être nuls ; c'est ce rpii arrive au sommet d'un cône.