Lignes asymptotiques

1". — Les lignes asymptoliques sont tangentes en chaque point de la surface à une asymptote de l'indicatrice : tout le long de ces lignes, le rayon de courbure de la section droite qui leur est tangente, est infini. D'après le § 455, on a p' = p cos 0 = oc , pour toute section inclinée passant ]yi\v l'asymptote de l'indicatrice (û = oc), excepté pour G = z ! â, où p est indéterminé. Donc la ligne asymptotique a le plan tangent à la surface pour plan osculateur. Ecrivons donc que le plan tangent :

contient le point de tangence et certains points voisins jusqu'au second ordre près. On trouve immédiatement :

d-z z= pd-x -j- qd^y .

Mais on a identiquement : dz=pdx-{-qdy ,

d^z =pd^x -f- qd^^y -f- dpdx -\- dqdy .

D'où : dpdx -]- dqdy = 0 ;

[rdx -\- sdy)dx -\- (sdx -\- tdy)dy = 0, r(/.r- -|- 2sdxdy -\- tdy- = 0.

Posons ^=zdy',dx. Les pentes des projections horizontales des lignes asymptotiques sont données par l'équation :

2". — Hyperboloïde a une nappe. — Son équation est :

Utilisons les valeurs r, 5, t^ calculées au§ 460, :^'', où nous changeons le signe de c^. Remplaçons z par sa valeur. Des transformations faciles mettent (1) sous la forme :

]fJ^a}è^ = {y—x^)\ (2)

Nous obtenons une solution en considérant r) comme une constante; les projections sur xOy des lignes asymptotiques sont les deux faisceaux de droites :

y=x^±^h'^-\-a'è\ Pour démontrer (ce qui est évident a priori) que ce sont les projections des génératrices rectilignes, il suffit de prouver qu'elles enveloppent l'ellipse de gorge. Dérivons (2) par rapport à ^ :

a-c5 = — x[y — itç5) ; c)(a^ — 3?-) = — xy . [^\

Éliminons 5 entre (2) et (3) ; il vient :

qui est l'ellipse de gorge.

S''. — Paraboloïde hyperbolique. — Son équation est :

D'où : è=z±h : a.

Les lignes asymptotiques sont encore les génératrices rectilignes, ce qui était évident a priori.