Lignes de courbure; normalies

/". — Par raison de symétrie, les lignes de courl3ure sont les méridiens (traces des plans passant par Taxe de révolution) et les parallèles (traces des plans normaux à l'axe de révolution). Les normalies correspondantes sont donc des plans et des cônes (fig. 294).

Dans le premier cas, les deux nappes de la surface développable sont repliées l'une sur l'autre, et sur le plan; leur arête de rebroussement est la développée FGHK de la courbe méridienne. Le lieu de ces arêtes de rebroussement (qui constitue l'une des nappes de la caustique , § 435) est la surface de révolution obtenue en faisant tourner FGHK autour de Taxe.

Dans le second cas, la surface développable est un cône dont le sommet est sur l'axe de révolution. Le lieu des sommets constitue la seconde nappe de la caustique (pii se réduit à un morceau de l'axe de révolution.

Une remarque essentielle s'impose ici. Le lecteur serait tenté de croire qu'en tous points de la surface de révolution les sections principales sont le méridien et le plan du parallèle. C'est vrai pour le méridien qui est une section normale ; c'est évidemment faux pour le plan du parallèle qui n'en est pas une. Les sections principales en chaque point sont un élément du méridien , et un élément de section droite tangent au parallèle.

'2°. — Il peut arriver que les deux nappes de la caustique s'évanouissent en des courbes; la surface supposée de révolution est alors un tore engeiidré par la rotation d'un cercle autour d'une droite de son plan (§ 399). L'une des courbes est un morceau de l'axe de révolution, comme dans le cas général; l'autre est le cercle lieu des centres du cercle mobile.

S°. — Les rayons de courbure au point B sont BG (rayon de

courbure de la méridienne) et BI. Il est clair que le rayon de courbure du parallèle BEB est BE; conformément au § 455, on a :

BEr=:BÏ . cosO.

-/". — Une surface de révolution peut être considérée comme l'enveloppe d'une sphère de rayon variable dont le centre décrit une droite (axe de révolution); les lignes de courbure formant l'un des systèmes sont circulaires [paj^allèles] [^ 37S).

La proposition est plus générale : pour toute surface enveloppe d'une sphère dont les éléments dépendent d'un paramètre , les lignes de courbure de l'un des systèmes sont des cercles. La caractéristique (§ 397) est alors un cercle suivant lequel la sphère est tangente à la surface enveloppe; les normales menées à la sphère ou à l'enveloppe forment un cône de révolution (surface développable, normalic) et passent par le sommet du cône. L'une des nappes de la caustique s'évanouit en une courbe, lieu de ce sommet.

Il en est ainsi pour les surfaces canaux (§ 398); la caractéristique est un grand cercle. Si le lieu du centre des sphères (nappe évanouissante de la caustique) est ])lan , les normalies de l'autre système sont des surfaces d'égale pente dont les arêtes de rebroussement sont des hélices générales (§ 413).

Disons, sans plus insister, qu'il existe des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont circulaires ; elles sont appelées cijclides de Dupin et obtenues par inversion (^ 391) à partir du tore.

466. Rayons de courbure ; lignes asymptotiques. i°. — Posons :

p = ^z ', àx, p' = ùp ; hx.

Le rayon de courbure de la méridienne est (§ 459) :

La normale au point B de coordonnées j-, //, a pour équation :

Le point I a pour coordonnées :

X=iO, Z — z^-' a ou :

TB = v'^^ + (Z-# = . y/i + ^ 5 ^ir-f^T; D'où les formules :

^«. — Un des rayons de courbure principaux devient infini pour p' =:() ( la méridienne présente un point d'inflexion ) ou pour p=zO (la surface est tangente à un plan normal à Taxe de révolution). Suivant le parallèle d'inflexion AI et le parallèle de contact CD, les points de la surface sont paraboliques (iig. 295).

En tout point E du parallèle d'inflexion, les lignes asymptotiques aboutissent tangentiellement à la méridienne, c'est-à-dire viennent se confondre avec une des sections principales. Elles ne peuvent dépasser le parallèle, puisque leur existence est subordonnée à l'opposition des courbures. Ce parallèle est donc le lieu des points de rebroussement des lignes asymptotiques. Les deux branches du rebroussement appartiennent respectivement aux deux systèmes de lignes.

Les choses ne se passent pas de la même manière sur le cercle de contact qui est , non seulement un lieu de points paraboliques, mais une ligne asymptotique double. Les lignes asymptotiques lui sont toutes asymptotes.

Expliquons ce que cela signifie.

Au point D les sections principales sont : 1° le méridien; 2"* le plan normal au méridien et parallèle à l'axe. Ce dernier plan coupe le plan tangent CD suivant une tangente au cercle de contact D. Donc la courbure principale correspondante est bien infinie; le cercle de contact est une ligne asymptotique.

Elle est double en ce sens qu'elle appartient aux deux systèmes de lignes asymptotiques dont elle est une solution particulière. Les autres lignes asymptotiques ne peuvent l'atteindre , parce qu'en chacun de ses points le plan tangent est unique, ainsi que la section principale pour laquelle le rayon est infini. Il n'y a donc aucun procédé de bifurcation. Comme il faut que les lignes asymptotiques se terminent d'une manière ou d'une autre, il devient nécessaire qu'elles s'enroulent autour du cercle D qui est pour toutes un cercle asymptotique.