Onduloïde

Cherchons l'équation des surfaces de révolution qui satisfont à l'équation :

|-^^=p-= Constante. (1)

Fig. 29."

Soit ABC la méridienne de la surface cherchée et FD son axe de révolution (fig. 29()). Menons la tangente BF ; posons : EB=://, ano-le EFBr=0.

Soit s la longueur de la courbe comptée à partir d"un point quelconque dans le sens ABC.

pi est le rayon de courbure de la méridienne ; on a — pi JO = ds ; P2 est égal à BI).

L'équation (i) s'écrit donc :

do cos 0 l ■ ,^.

- ds-^ — jr~'c' ^ ^

En vertu de la relation : di/=zds . sinO, Téqiiation (2) devient : C . (/(// cos 0) = //(/// , // cos 0 = ,w^ -f" D.

Ojidu/o/de

Posons

BD = n , n cos 0 cos 6

L'intégrale s'écrit :

Or c'est précisément la relation (jui existe entre le rayon vecteur BD = n, d'une ellipse dont B est le foyer, et la longueur BE = ;/, de la perpendiculaire abaissée de ce même foyer sur la tangente au point D. Les demi-axes de cette ellipse sont :

En effet, d'après les propriétés des foyers et des tangentes (§§ 5 et 109) :

y = n cos 0 , n-\- n = 2a ,

BB"^=: ^a^- — Jy) = n'--\- n' — 2nn' cos 20. Éliminant 0 et n' entre ces équations, il reste :

Donc la courbe cherchée est décrite par le foyer d'une ellipse qu'on fait rouler sur une droite. D'après les propriétés du centre

instantané de rotation (§ 139), BD est la normale à la courbe. Cette cycloïde raccourcie décrite par le foyer d'une ellipse s'appelle onduloïdc. Il est clair que le calcul suppose G>>0.

Cas particuliers.

Z'*. — Pour a=:b, l'ellipse devient un cercle; le foyer coïncide avec le centre; la courbe décrite est une droite : Fonduloïde se change en cylindre.

:^^. — L'ellipse s'aplatit infiniment [h = 0) ; les foyers sont aux extrémités du morceau de droite constituant l'ellipse évanouissante ; la courbe devient une succession de demi -circonférences tangentes entre elles ; l'onduloïde se transforme en une série de sphères égales, tangentes entre elles et dont les centres sont en ligne droite.