Minimum de longueur des courbes joignant deux points

1"". — Entre deux points A et B, le plus court chemin est la ligne droite. Mais on peut imposer une condition supplémentaire, par

exemple que la courbe soit sur une surface contenant les points A et B : le plus court chemin est une certaine courbe tracée sur la surface et (ju'on appelle liffiie (jéodésiquc [i\^. 303).

Nous poserons commo évident que si on attache en A un fil parfaitement flexible et si hi surface est parfaitement polie, le fil tendu et passant par B trace sur la surface une ligne géodésique allant de A à B. Puisque le fil n'est gêné en rien, si ce n'est dans ses déplacements normaux à la surface^ il obéit le mieux possible à la force (jui le tend ; le point d'application de cette force cède le plus possible, ce (jui impli(jue la diminution maxima de la longueur du fil comprise entre A et B.

Puis(jue rien ne gêne les déplacements tangentiels, le plan osculateur à la courbe se dispose partout normalement à la surface. Autrement dit, les éléments consécutifs du pi forment une suite de sections normales élémentaires.

La ligne géodésique correspond

parfois à un chemin maximum ; le

Fig. 303. fil tendu est encore en équilibre,

mais son équilibre est instable.

;S^". — De tout point A de la surface partent une infinité de géodé-

siques allant dans toutes les directions ; elles joignent le point A aux

autres points de l;i surface.

Prenons une longueur quelconque de fil, sr=:AB. Attachons une des extrémités en A. tondons le fil sur la surface et considérons la courbe C tracée par l'autre extrémité : on la nomme cercle géodésique.

Les rayons AB, AD ,... du cercle géodésique sont constitués par les lignes géodésiques. Nous admettons qu'ils aboutissent normalement au cercle; la propriété tient à ce que hi distance de A ;iu cercle est toujours un minimum.

S'\ — Généralisons. Traçons sur la surface une courbe ABC quelconque. Par les points A,B,G,... menons des lignes géodésiques normales à ABC. Pour cela, attachons le fil en A, tendons-le sur la surface et déplaçons l'autre extrémité de manière que les angles en A deviennent droits. Nous déterminons une géodésique sur lacjuelle nous prenons une longueur fixe 5 == AA' . La courbe A'B'C... ainsi obtenue coupe normalement toutes les géodésiques.