Lignes géodésiques des surfaces développables

/". — Sur le plan la ligne la plus courte entre deux points est la ligne droite. Le faisceîui des lignes géodésiques issues d'un point A est l'ensemble des droites qui passent par ce point. Les cercles géodésiques sont les cercles de centre iV.

Les lignes géodésiques des surfaces développables sont évidem-

Fig. 304.

ment celles qui se transforment en droites dans le développement sur le plan. Soit A,B,G,... les points du plan; A',B',G',... les points conjugués de la surface développable. Les lignes géodésiques relatives au point A' sont les conjuguées du faisceau de droites passant par A dans le plan.

!^°. — Les lignes géodésiques du cylindre droit à base circulaire sont des hélices, puisqu'il résulte de la déflnition même de l'hélice que son développement est une droite. Au faisceau de droites AB, ABi, ABg... passant par un point A du plan, correspond un faisceau d'hélices passant par A' conjugué de A sur le cylindre et faisant

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 36

avec les génératrices du cylindre le même anj^le que les droites AB, AB,,... avec les droites G conjuguées des génératrices sur le plan.

Mais une remarque s'impose. Soit AG, A, G,, les génératrices extrêmes du cylindre, celles qui sont confondues après enroulement.

Nous pouvons considérer le cylindre comme un plan enroulé non pas seulement une fois, mais un nombre quelconque de fois, comme quand nous faisons un tube avec du papier. Le déroulementdoimera donc une série de figures AG, A, G, ; A,G,, A5G2 ; . . . de mêmes dimensions. Un point B' du cylindre, pouvant être considéré comme appartenant à tous les enroulements, aura pour conjugués sur le plan une infinité de points distincts B, 15,, 11,,...

Hécipro(|uement , trac^'ons les droites AB, ABj,... Enroulons sur le cylindre. Elles donneront une série d'hélices qui sont les lignes géodésiques de A'. Par suite, entre deux points A' et B' du cylindre existent une infinité de chemins minimums, c'est-à-dire plus courts f/ue les chemins voisins. Ils correspondent à une fraction z de tour,' et à cette fraction augmentée ou diminuée d'un nombre quelconque de tours complets. Nous pouvons en effet décrire les hélices en sens contraires et en obtenir une nouvelle infinité passant par A' et B'.

EUe^ correspondent aux droites AB», AB%... du plan.

Pour le cône circulaire , les géodésiques sont des spirales

Fig. 306.

dont il est facile de déterminer la forme. Représentons-nous le cône comme un cornet formé de plusieurs épaisseurs de papier. Son développement donnera une infinité de figures F identiques accolées, de notations G.AG, ^ 1. Au point B du cùne correspondent donc une

infinité de points 61,82,... B^,B-,... qui sont sur un cercle de centre S et disposées d'une manière semblable par rapport aux génératrices extrêmes de chaque figure F. L'angle du cône étant quelconque, ces points ne se recouvrent généralement pas.

Inversement, traçons sur le plan les droites AB, ABi,... AB*,... Leurs conjuguées sur le cône sont les géodésiques relatives à A'.

Considérons une de ces lignes, AB^ par exemple. Sa distance au point S est minima pour le point D. Elle coupe SGj, mais ne coupe pas SGg. On vérifierait qu'elle coupe SG*, mais ne coupe pas SG^. Donc la conjuguée sur le cône est une spirale infinie dont le nombre de spires est fini, et qui est symétrique par rapport au plan déterminé par l'axe du cône et par la génératrice SP (lig. 30.3).

Par tout point A' du cône passe une infinité de ces spirales. Pour l'une d'entre elles, le point A' est le point le plus rapproché du sommet ; la spirale coupe normalement la génératrice A'G'. Cette génératrice elle-même est une des géodésiques relatives au point A'.

Nous engageons vivement le lecteur à vérifier ce qui précède au moyen de cylindres et de cônes en papier calque sur lesquels il tracera des droites, après développement.

Surfaces applicables.