Définition des surfaces applicables

On dit que deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, lorsqu'on peut les superposer exactement sans déchirure ni duplicature. Les surfaces développables sont des surfaces applicables sur un plan.

Pour que deux surfaces soient applicables, il faut qu'à chaque point A de la première corresponde un point A^ de la seconde, de manière que la distance AB de deux points infiniment voisins de la première soit égale à la distance A^B^ des deux points correspondants de la seconde, et cela quel que soit le couple de points considéré.

Exprimons les coordonnées des points des deux surfaces par les équations (§ 372) :

Un système de valeurs w, f, définit deux points correspondants. Les éléments d'arc correspondants ont pour expression (§ 374,^") :

ds'- = Edu'- -f 2Fdu dv + Gdv%

ds\ = E,du^ + 2F, du dv + G,dv\

Pour qu'ils soient identiquement égaux, on doit avoir identiquement :

A ces conditions analytiques correspondent des propriétés intimes des surfaces, propriétés indépendantes des variables particulières u, t\ choisies. Elles expriment en définitive ce qui est invariable, quand on déforme une surface de toutes les manières possibles sans changer la grandeur des éléments linéaires (par exemple, quand on froisse une feuille d'un papier supposé inextensible).

Nous nous contenterons d'éiionci'r le fameux théorème de Gauss,

qui nous donnera l'occasion de définir la courbure d'une surface en

un point.

/". — Par les divers points du contour limitant une portion de

surface, menons les normales à la surface. Par un point 0 (juelconcjue, menons des parallèles à ces normales; elles forment un cône d'angle solide iù (§ 74). Soit S l'aire de la surface ; on appelle courbure moi/ en ne le rapport w ; S. Diminuons indéfiniment l'aire S ; l'angle solide 0) diminue en même temps. Le rapport (o ; S tend vers une limite qui est par définition la courbure au point ([u'occupe l'élément d'aire quand il s'annule. i\ous admettrons que cette limite est la même, quelle que soit la forme de r élément.

i^^ — H est aisé de trouver son expression. Considérons le petit rectangle formé par (juatre lignes de courbure ; elles sont deux à deux rectangulaires

(§ 458). Les normales le long de chacune de ces lignes peuvent

être considérées comme se coupant (j^ 470).

Soient pi et p.. les rayons de courbure principaux. On a (fig. 307) :

NP=MQ = 2a2?2, MN = QP = 2a,p,; Srrr 4a,a,p,p,.

Par le point 0 quelconque, menons des parallèles aux normales à la surface le long du pourtour MNPQ. Il résulte du raisonnement immédiatement précédent que Taire découpée par le cône obtenu sur la sphère de rayon 1, est : (ù = 4a,ao.