D OU : L

S pip2

Fig. :W7.

La courbure est mesurée par l'inverse du produit des rayons de courbure principaux.

Dans le cas où Ton prend x et y comme variables indépendantes, on a (§ 459) :

1 rt — s""

La courbure est évidemment constante en tout point d'une sphère ; elle est nulle en tout point d'une surface développable et en tout point parabolique d'une surface quelconque.

/?'. — Voici maintenant l'énoncé du théorème de Gauss.

Dans la déformation d'une surface sans déchirure ni duplicature , on peut en tout point donner à l'un des rayons de courbure principaux pi la valeur qu'on veut; Vautre prend alors une valeur telle^ que le produit p^pa reste invariable.

D'où résulte que deux surfaces ne sont applicables l'une sur l'autre que si le produit des rayons de courbure principaux est le même aux points correspondants des deux surfaces.

Il va de soi que, dans la déformation, les sections principales prennent en chaque point les directions qu'on veut. On peut toujours rendre en un point donné l'indicatrice de la surface semblable à une section conique donnée et placée comme on voudra, pourvu toutefois que celle-ci soit du même genre que l'indicatrice primitive. En effet, les coniques :

^2 -r jy> — 1 , ^/2 -r /y2 — A :

sont semblables quand on a (§ 365) : a ', a'=zb ', />', ce qui est une première condition à satisfaire, La seconde est de laisser au produit a'b' la valeur caractéristique de la surface pour le point considéré.

4°. — L'application de deux surfaces l'une sur l'autre ne peut s'effectuer généralement que par superposition des points correspondants, c'est-à-dire de ceux pour lesquels les variables u, v, ont les mêmes valeurs. Au reste, on peut donner aux surfaces une infinité de formes communes.

Parfois la superposition peut s'effectuer d'une infinité de manières : par exemple, une sphère et un plan sont respectivement applicables sur eux-mêmes d'une infinité de manières. Cela tient à ce que leur courbure est constante, 1 ; R- pour la sphère, nulle pour le plan.

Les surfaces de révolution sont applicables pour une infinité de positions obtenues, les unes à partir des autres, par rotation d'un angle quelconque autour de l'axe.

De même les surfaces développables, ayant une courbure partout nulle, sont applicables d'une infinité de manières sur un plan, par conséquent les unes sur les autres. Mais si l'on veut que les génératrices restent communes, la superposition exige que les arêtes de

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rebroussement aient même transformée plane. C'est ce qui arrive pour deux cônes dont on fait coïncider les sommets, deux cylindres dont on fait coïncider les sections droites. C'est ce qui arrive pour les hélicoïdes développables dont les hélices arêtes de rebroussement ont même courbure (§ 415, 5°) :

p = r ; cos- 0.