Cas particuliers

/'•. — Le cas le plus simple est celui où le mouvement a lieu parallèlement à un {)lan, le plan .^'0//, par exenq)le. L'un des faisceaux de surfaces a [)our équation : w='a; l'aulre fjusceau est composé de cylindres dont les génératrices sont parallèles à Oz ; 'h[x^y) = ^.

Si le flux est conservatif, on peut écrire :

ù// o.r ' (ix ' oy

Le flux est conservatif; conformément au § 482, on a :

h.r ' ô// ' (>3 (\// (\r ' ùxày *

t^". — Supposons le phénomène de révolution (autour de Ox), et ne présentant pas la symétrie de la vis. Le faisceau y se compose nécessairement des plans méridiens. Posons donc :

'/(//» -) — a''ctg (// : z) = A, r- = y'- -j- 3-.

11 sutTit de connaître les lignes de courant •} r= ;j,, dans un plan méridien ; 6 est une fonction de x et de r. Comme les phénomènes sont identi([ues dans tous les plans méridiens, étudions-les dans le plan xOî/ (c = 0). On a :

Az=,o ~^=o ^^1

Ou? ' ô^ ' Ô3 y '

Posons Q^= — 1 , ce qui revient à prendre le fluide incompressible; rétablissons la distance à l'axe de révolution r à la place de // , il vient :

y ày /• ôr ' y àx T ùx '

(^ = 1 ; fi = r^ , v= ^ ' \ u ^ 4- V -^ = 0 .

FLUX ET CIRCULATION DES VECTEURS 577

La solution est de la forme :

1 ôô __1 ^'K

'h est une fonction arbitraire de x et de r.

Ces théorèmes sont fondamentaux en Hydrodynamique.

Existence d'un potentiel.