Définitions et théorèmes fondamentaux
i \ — Jusqu'à présent nous choisissons arbitrairement les fonctions u, V, iv, des coordonnées, qui sont les projections sur OiT, Oy, Os, du vecteur dont nous étudions le champ.
Nous leur imposons seulement d'être continues.
Nous supposons maintenant qu'elles dérivent d'une fonction V(.T, ;/, z) d'après les formules :
ÔV OV èV
~~ Ùx ' Ô;v ' 6z '
V est le POTENTIEL du vecteur u, v, iv.
Les surfaces : V(^, ?/, js) = Constante, (3)
sont les SURFACES ÉQUiPOTENTiELLEs. A chaquc valeur de la constante correspond une surface du faisceau. Les conditions (1) signifient que le vecteur w, î^, lo^ est normal à la surface qui passe par son point d'application A (§ 322).
Le potentiel V est ce qu'on appelle une quantité scalaire par opposition avec les composantes u, i% 7^, qui sont des vecteurs ou quantités dirigées. Le potentiel est complètement défini en chaque point par un nombre; le vecteur U est défini par trois nombres, ou par une longueur et deux angles, ce qui revient au même. Les considérations qui suivent nous apprendront à faire sortir un champ de vecteurs d'une quantité scalaire définie en chaque point du champ.
Menons par A une courbe quelconque dont nous repérons les points au moyen de l'arc s compté sur la courbe à partir d'une origine quelconque. Soit a, 3? Y? les cosinus directeurs de la tangente à la courbe s au point A. La projection du vecteur U sur la tangente à la courbe est :
Uyi-\-v[ti-\-lV-f=z-
Mais on a {§ 403) :
dx dy dz
ds "* ^ ds ^ ' ds
d'où :
/()V dx , bV dy , ôV dz\ bV
Cours de Mathématiques générales. — H. BouASSE. 37
(ly
La projection cherchée est le taux de variation (changé de signe) du potentiel par rapport à l'espace parcouru, quand on se déplace sur la direction de projection, à partir du point d'application du vecteur.
'2^ — On a :
d(^> = udx + vdii + ivdz = — {j^ dx -f '^^^ du + '^^ dz) = —
La quantité g?(s, qu'on nomme cihculation ou thavail du vecteur, est donc une différentielle exacte. Il revient au même d'écrire ()j 21) :
V ^iv 6v 6// ùtv ,, àv^ au
Ces relations expriment que Tordre des dérivations de la fonction \{x,y,z) n'influe pas sur le résultat.
Les quantités ;. r,, '^, peuvent être considérées comme un vecteur qui s'appelle le rtuL du vecteur //, i;, w\ il est identiquement nul (piand //, i\ /r, dérivent d'un potentiel.
L'intégrale : / {udx -f- rdi/ -|- ff'dz),
prise le long d'une courbe AH, est la circulation du vecteur w, î\ n\ le long de cette courbe. Si u, v, h\ dérivent d'un potentiel, la circulation (ou le travail) entre les points A et H est égale à :
Ca,, --/'"'/ V=:.V,-V„,
quel que soit le chemin qui relie les points A ef Ji.
,f\ — La condition pour (jue le flux du vecteur //, v, ii\ soit conservatif, est maintenant :
r ^ (\// ^ (V. — (^ àx- ^ i)}/"- ^ Ù3* /— -^> — ". [^)
Ainsi le flux du vecteur n'est conservatif (jue si la fonction V satisfait à la condition :
dite condition de Laplace. Les fonctions V, qui dans un espace donné sont continues ainsi que leurs dérivées premières et secondes, et satisfont à l'équation de Laplace, sont appelées fonctions harmo- MQiJKS. On conçoit leur importance.
/". — Quand il existe un potentiel, le flux à travers une surface quelconque prend une forme remanjuable. Menons les normales en tous les points de la surface, vers l'extérieur s'il s'agit d'une surface fermée. Repérons les points de ces normales au moyen d'une variable n mesurée sur la normale. En un point quelconque de la
FLUX ET CIRCULATION DES VECTEURS
surface, la composante normale de la force a pour expression (/") :
^r — ; c'est le taux de diminution du potentiel quand, à partir
d'un point de la surface, on se déplace sur la normale vers l'extérieur. Le flux de force est par suite :
-ff
On
dS
l'intégrale est étendue à toute la surface. Nous avons (jj 482) : -/7^n-''S = - // / ^dxdydz.
Soit a, iS, 7, les cosinus directeurs de la normale à la surface quelconque à travers laquelle nous calculons le flux. On a (§ 482) :
/rs---/T(
JS
Ô.r •' ' Oji
Ces expressions sont équivalentes.
^hl (1-- + A,, ^^^ ^^-^ + A r ^^-^ <y •
486. Circulation le long d'une courbe fermée; non uniformité du potentiel.
De la formule :
/ udx-\- vdy -\- ivdz =- — / dV ,
semble résulter que la circulation le long- d'une courbe fermée est toujours nulle quand le vecteur u, v, ?r, dérive d'un potentiel. Il n'en est cependant rien, parce que certains potentiels ont au même point une infinité de valeurs différentes.
/"'. — Par exemple, choisissons pour surfaces équipotentielles des demi-plans s'arrêtant à une droite indéfinie dont la trace sur un plan normal est représentée en 0 dans la figure 31'S.
Prenons pour expression du potentiel :
y. est l'angle du demi-plan considéré avec un demi-plan P pris pour origine des azimuts. A chaque demi-plan correspond une infinité d'angles a, différant entre eux d'un multiple entier de 2t,; nous devons poser :
Fig. 313.
OÙ a est le plus petit angle positif du demi-plan considéré avec le plan de référence P.
Le potentiel n'est défini qu'à une constante près. Mais si la valeur absolue du potentiel qui convient à un plan S, est arbitraire, une fois cette valeur choisie et une trajectoire donnée^ la valeur du potentiel d'un demi-plan S^ ({uelconque est parfaitement déterminée.
Soit en elfet ai et ol^ les plus petits anj^les (jue S, et S., font avec P dans le sens positif. Posons pour S, :
V,=:W.,4-2/f,zV„.
Quand nous allons de S, à S^ sur la trajectoire EF, ou encore EFOK, ou sur toute autre trajectoire n'entourant pas le point O, le potentiel de Sa est :
V, = V„x,4-2/.-,rV„.
Au contraire, si nous allons de S, à S^ sur la trajectoire ABGD, faisant un tour autour de O dans le sens positif, le potentiel de Sj
est : V, = Voa, + 2k,z\„ + 2-Vo -- V, + 2zV„.
En général, si la trjijectoire fait n tours autour de O, n pouvant être positif ou négatif et représentant la somme algébriijue des tours positifs et négatifs, on a :
En particulier, si l'on })art du plan S, pour y revenir, la variation de potentiel est : 2tjA\).
i^". — (^.eci posé, étudions le courant défini par ce potentiel.
Les lignes de courant , normales aux surfaces équipotentielles , sont des circonférences situées dans des plans parallèles au tableau et ayant leurs centres sur la droite O.
A une distance r de cette droite, le vecteur a pour expression :
ày 1 bv \\
o(ra) /• ôa r '
roL représente, en effet, le déplacement sur la ligne de force; nous appliquons la formule du j^ 48;), /".
La longueur du vecteur est en raison inverse de la distance à la droite 0 ; il est naturellement dirigé tangentiellement aux lignes de courant, vers les a décroissants si V^ est positif.
Quand on va d'un point du champ à un autre point, la circulation est indépendante des trajectoires planes ou gauches suivies (c'est en cela qu'il existe un potentiel), à la condition quelles fassent en définitive le même nombre de tours autour de la droite 0 dans le même sens {cette restriction est la conséquence de la non uniformité de ce potentiel).
FLUX ET CIRCULATION DES VECTEURS 581
487. Surfaces et lignes de courant dans le cas d'un potentiel.
/". — Puisque le vecteur «, y, it\ est normal à la surface équipotentielle en son point d'application , toute ligne de courant est normale en tous ses points au faisceau des surfaces équipotenlielles ; toute surface de courant coupe orthogonalement toutes les surfaces équipotentielles.
^*'. — Plaçons-nous dans le cas particulier (§ 484, /") où le fluide est incompressible et où les lignes de courant sont parallèles à un plan (phénomène cylindrique). On a simultanément :
^x ày ' ô?/ Ôic *
On tire de là : AV = 0, A'l = 0.
Les deux fonctions V et <]; sont toutes deux harmoniques. Mais les courbes équipotentielles et les courbes de courant sont orthogonales : nous voici donc ramenés à l'étude des fonctions conjuguées dont nous nous sommes longuement occupés dans le Chapitre XI, C'est môme de cette application que les fonctions conjuguées tirent pour nous la plus grande partie de leur importance.
S". — Considérons le cas d'un phénomène de révolution {§ 484, i^"). On a simultanément :
ÔV 1 M
àr r àx '
(W Ox
1 à'h ~ r àr
On tire de là :
àxàr /'- ôr ' r Ôr- r àx-
àx- ' ôr- r 6r
