Théorème de Green

Ce théorème est une pure transformation mathématique dont les applications sont nombreuses.

Sa démonstration est identique à celle du § 485; elle repose : 1" sur l'intégration par parties; 2" sur le fait que nous pouvons {^'§ 21 et 305) changer arbitrairement l'ordre des dérivations ou des intégrations.

Soient V et W deux fonctions de x, y, z, continues ainsi que leurs dérivées premières et secondes, dans un espace donné.

Effectuons l'intégrale :

582 CO CBS DE M. \ TlUlM \ TIQ LES GÉSÉRA LES

étendue à tous les éléments de volume do compris dans une surface fermée. On a en intégrant par parties (lo8, ^") :

I l'^iS ^^''- '^y ^' ~ I j '^y '^' I ^^ ^ '^-' '

Opérons de même pour les deux autres intégrales, il vient :

- / / / ilvr^+ o.v .xv + ô= -àTJ'^"-

La (juantité entre parenthèses dans la première intégrale est le flux de force à travers un élément de surface. Nous pouvons donc écrire :

Telle est la formule de (m reçu.

En particulier, posons W = I , il reste :

formule (jue nous avons démontrée directement 'Ji 48o).

489. Expression de Ténergie cinétique pour un fluide incompressible.

/". — Si le iluido est incompressible, la densité est constante et uniforme i^invîiriable par rapport au temps et à l'espace). Admettons que u, V, w, représentent non plus les composantes de la vitesse matérielle, mais celles de la vitesse géométrique. L'énergie cinétique de toute la matière comprise à l'intérieur d'une surface donnée est proportionnelle à :

KlJJ^"

OÙ p est la densité.

Supposons l'existence d'un potentiel \' pour le vecteur //, r. w

FLUX ET CIRCULA TfON DES VECTEURS 583

Dans la formule de Green, faisons V et \V identiques; elle devient :

fff[m+{wï+c::)h

Puisque le milieu est incompressible (p constant) , le flux est conservatif :

-iff-

1Y = (). \ = ^ I I y^dS.

Cette formule remarquable est d'un emploi continuel en Physique.

^". — Supposons l'espace considéré limité par des parois -**<^^////////.. ..////////

imperméables excepté sur les ^T^^^^^^^m^MmmmMmmm

surfaces cquipotentielles 1 et 2

(fig. 314). Le fluide étant im-

compressible, il en passe né- 1^^^^^^///////^^^^^

cessairement autant à travers ^'^^ ^^%^

les deux surfaces pendant le j^,.^, .^^^

même temps. Soit T>dt le débit

total géométrique ou en volume pendant le temps dt\ le débit matériel

est pDc// pendant le même temps.

Comptons positivement les normales et les débits dans les sens des flèches; on a par définition (,^ 481) :

Les potentiels V^ et Vj sont constants en tous les points des surfaces 1 et 2, mais leurs taux de variations norm;iles varient d'un point à l'autre. Avec nos conventions de signes, l'expression de l'énergie

cinétique devient (puisque V, et V^ sortent du signe / ) :

le débit est compté positivement quand le fluide s'écoule de la surface 1 vers la surface 2.

S"*. — Pour montrer l'intérêt de ces formules (dont, je le répète, les applications sont innombrables) , retrouvons la loi d'Ohm sur réchauffement des conducteurs.

584 CO VHS DE MA JIIJ-MA TIQ i h S < , /. A ÉR. \ LES

II, V, IV, représentent alors les composantes de la vitesse du courant électrique qui se conduit comme un fluide incompressible. L'équation (1) nous apprend donc que l'énergie cinétique perdue sous forme d'échaufTement entre les surfaces 1 et 2 d'un conducteur, est proportionnelle iiu débit D (intensité du courant), à la différence des potentiels Y^ et V^ des deux extrémités du conducteur, et à un paramètre p qui est la rcsistivité de la matière dont est formé le conducteur.