Théorème de Stockes

/". — C.onsidérons le vecteur u, t\ n% et son curl :

^ ^w i)V i)U i)fV ^ ()v Ou

^~l)y'~"ù^' '^'~~ i)z. (V' ^~~'hx~l)ï/- ^')

On a évidemment : x ~ -}- x " H — r-^^^',

le flux du vecteur ;, -/;, ;:, est conservatif. Il est le même à travers toutes les surfaces limitées au même contour : nous pouvons donc parler sans ambi(ju'ité de son flux à travers un contour.

lue problème est le suivant : puisque le flux ne dépend que du contour, ne pourrait- on pas l'exprimer au moyen de fonctions définies le lonj^ de ce contour? Le théorème de Stockes répond par l'affirmative; il nous apprend que le jlu.r du vecteur ;, v;, ^, »ï travers le contour est égal à la circulation du vecteur u, v, w , le long de ce contour.

Autrement dit, soit a, (î, *;, les cosinus directeurs de la normale en un point quelconque d'une surface (/uelconque limitée par le contour; on a :

£/ *(;a + rr^ + ^^.;) dS =J\ud.r + vdg + ivdz) ;

la première intégrale est étendue à la surface, la seconde est prise

le long du contour.

t^". — La démonstration repose sur deux lemmes. LemiMi: L — Soit AB(]1) la courbe qui limite la surface; traçons sur cette surface deux systèmes de courbes quelconques, la décomposant en quadrilatères et triangles curvilignes quelconques. La somme des circulations du vecteur u, r, iv (supposé défini pour toute la surface) le long de tous les quadrilatères et triangles, parcourus dans le même sens, est égale à la circulation sur la courbe extérieure.

ji 3jrj En effet , dans le premier cas , chaque côté

d'un quadrilatère ou d'un triangle, qui ne

fait pas partie du contour extérieur, est parcouru deux fois en sens

FLUX ET CIRCULATION DES VECTEURS 585

contraires : ainsi chaque tel côté fait intervenir dans la circulation totale deux quantités égales et de signes contraires qui se détruisent.

Lemme II. — Le flux total d'un vecteur est égal à la somme des flux de ce vecteur à travers chaque élément de surface.

Ces lemmes sont vrais, quelle que soit la grandeur' et la forme des éléments en lesquels on découpe la surface; donc il suffit de démontrer le théorème quand les a dx •& éléments sont infiniment y'P^MpK.

petits, pour qu'il soit dé- . <f^^^ ■■ "^M^

montré pour une surface finie. i\ • M'/lMlk:

S". — Découpons sur la \ \ ; ; wm

surface un élément limité par \ \\a/' J^^§§m^

deux systèmes de plans voi- \ ^JJJÎ^

sins parallèles aux plans xOz ^.^^-^^m^^^^^^^^^

et xOtj ; l'axe des y est dirigé p.^ 3^^

d'avant en arrière , Taxe des x

de gauche à droite. Les projections sur les plans coordonnés du

petit élément ainsi découpé sont :

dj/ dz^ dz dxi , dx2 di/ .

Les deux dernières sont ombrées sur la figure 'M 6. Le flux du vecteur ;, y;, ^, est égal à :

Idydz^ r, dz dx^ -)- 'C dx. dy . (2)

Evaluons maintenant la circulation du vecteur u, v, w, le long du parcours ABGD.

Considérons, par exemple, le vecteurs; il n'intervient que dans les parcours AB et DG, puisqu'il est normal au parcours AD et GB. Evaluons sa valeur moyenne pour ces parcours, c'est-à-dire sa valeur en leurs milieux (comparer au § 481, ^"); appelons v la valeur au point A.

En a milieu de AB , il est :

àv ^x

du dy Oy 2 ■

1^ milieu de GD,

il est

dz-{-

df,

hvr.

dx l'''^-

ft'-

circulation totale du vecteur v

est

— v,dy-\-

V2 dy =

dx, dy

G'est précisément par ces termes que v entre dans le flux (2), si l'on suppose satisfaites les conditions (1).

On procède de même pour la circulation des composantes u et tv : le théorème est donc démontré.

/". — Il résulte de là que nous pouvons arbitrairement nous donner un vecteur «, v, w, dans un champ et remplacer sa circulation le long d'une courbe par le flux d'un autre vecteur ;, r,, 'Ç, à travers une surface quelconque limitée par cette courbe. Ce second vecteur est complètement déterminé, et son llux est conservatif; autrement dit, sa divergence est nulle.

Mais la léciproque n'est pas vraie : nous ne pouvons pas prendre arbitrairement le vecteur ;, y;, '1\ son flux doit être conservatif. De plus, le vecteur- «, y, w, dont il est le curl, n'est déterminé qu'à une fonction arbitraire près. Les vecteurs ;

<>V (W ÔV u, V, IV, et u T — , V c — , IV 5^ — -,

où V est une fonction (juelconque de .r, //, z, satisfont également aux conditions (1 ).

C'est évident d'après les é(juations (1) et aussi d'après la nature du problème : nous ne pouvons en effet remplacer une circulation (jui ne dépend que d'une courbe, par un flux à travers une surface limitée par cette courbe, que si le flu.r est le même pour toutes les surfaces satisfaisant à cette condition.