État permanent
j'. — Supposons l'état permanent atteint ; T n'est plus fonction du temps ; la température ne dépend (jue du point de la barre considéré. Écrivant pk' \ sk = h\ on a (5^ 283, !^«) :
-dT
-^ = />--T, T r= A^'- + Be- ^.
On détermine les constantes en posant que la température est To à l'un des bouts de la barre (j-:=0), Ti à l'autre bout [x=l). D'où les conditions :
T, = A + B, T. = A^'' + Be- '\
^''. — Supposons la barre assez longue. On peut admettre qu'une des extrémités ne change pas de température. Sa température est donc celle du milieu ambiant : nous l'avons prise pour zéro, puisque nous écrivons le refroidissement proportionnel à T. Exprimons donc que pour de grandes valeurs de la variable /, on a :
T==0; il vient : A = 0.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 59b
L'excès de température en un point quelconque de la barre est donné par la formule :
On reconnaît la loi élémentaire déterminant la température : quand la distance à la source suit une progression arithmétique^ l'excès de température de la barre sur la température extérieure suit une progression géométrique.
502. État variable sans perte latérale ; variation périodique de la température à une extrémité.
i". — Supposons la perte latérale nulle. L'équation s'écrit :
L'intégrale peut prendre une infinité de formes ; il existe une infinité de solutions particulières correspondant chacune à un phénomène déterminé. Par exemple, on vérifiera que :
T = To e - ^V'^>" sin («^ — ax^'^ — a^,) , (2)
satisfait à l'équation (1).
Pour x = 0\ Tr=:Tosin(w^ — o.^).
La solution (2) correspond donc au cas où l'on impose à l'origine ,T = 0, une variation sinusoïdale périodique de ki température; la période arbitraire est ': = 2k ; (o.
^°. — Mais l'équation (1) étant linéaire, la somme d'un nombre quelconque de solutions particulières est une solution. Nous savons, de plus (§ 265), que toute fonction périodique se met sous la forme d'une série trigonométrique. Remplaçons donc (0 = 2:: ;t, par 2(0, 3(1)..., ntù, où T est la période du phénomène; nous obtiendrons pour la température imposée à V origine la fonction périodique quelconque :
T r= Ti sin ((0^ — ai) + To sin (2oit — a,) -+-... =f{t), et pour la température en un point quelconque de la barre :
T=\T^^e-^^''^'^sin{n(ùt — ax\^K^—an). (3)
La fonction périodique f[t) étant donnée, la double infinité de paramètres T,^, a„, peut être calculée, et par suite on connaît l'intégrale (3).
Ce qui précède est un exemple d'intégration par série , et nommément par série trigonométrique. Dans la pratique, on s'arrangera de manière que la fonction f[t) soit représentable par un petit nombre de termes, ce qui réduira la série (3) à ce même nombre de termes.
503. Même équation; phénomène tendant vers un état permanent.
j". — On vérifiera que l'équation :
admet la solution : T =: T, e " '""'^^ sin 2aiùX.
La valeur de o est arbitraire. Pour / grand, le terme exponentiel s'annule; pour /r=0, il se réduit à l'unité; d'où :
T =7z T„ sin '2a(,).r.
J'ai le droit d'additionner un nombre quelconque de termes analogues, en particulier de prendre pour <.> la suite (o, 2(.) 3w,..., /lo).
^". — Supposons une barre à la température 0. Choisissons sa longueur pour unité. Portons brusquement une extrémité x = { à la température 1, tout en maintenant l'autre {x = i)) à la température 0. Les conditions sont résumées dans le tableau :
Tr=0, pour / = (), quel que soit .r ;
T = 1 , pour ./ == i , quel que soit t ;
TrrrO^ pour ./' = (), quel que soit /.
En vertu de la formule II du «5; 267, on a, .r variant entre 0 et 1 :
Je dis que la solution cherchée est ;
rr I ^ \^ / i\„ l 'i*7^*^ \ sin nr.x
T-^ + -2j(-l)"exp(--2^.-j.— ^^.
Kn effet, pour x = <S et pour x:= 1, tous les termes de la série s'annulent. Il reste, quel que soit t :
T = 0, pour.rr=0; T == i , poura"=:i.
Pour ^ = 0, on a :
Les conditions imposées sont donc satisfaites.
^^- — La température tend vers une distribution linéaire. En effet, si / est assez grand, tous les termes s'annulent quel que soit x, il reste :
L'intensité du courant est proportionnelle au taux de variation :
=^=^+^yj(-^y^''^{-^)''''^''^-
Posons: exp( — -^-yj=u.
On a : pour ^ = 0, i = \ —2 {u — u' + u' — u'' + ...)\
pour^=l, i=i-\-2[u-{-u^-\-u^-{- ...).
La solution précédente est purement théorique. Discuter le phénomène sur une telle série est quasiment impossible ; la difficulté est du même ordre que d'étudier les propriétés d'une droite sur la relation (1). La série (1) est très lentement convergente; d'après la nature même du problème, il est impossible de limiter a priori le nombre des termes à considérer, ce qu'on pouvait faire au paragraphe précédent.
504. Même équation; solution sous forme d'intégrale dont une des limites est variable.
/". — Posons : z = f(x,t).
Cherchons à quelle condition T deviendra fonction de z , cessera de dépendre de a? et de ^ autrement que par la combinaison z. S'il en est ainsi, T restera constant chaque fois que z le sera, quelles que soient les variations simultanées de x et de t.
Considérons T comme fonction de z. On a :
hT (IT àz (VT d'-T/^zV , ^T à'-z
6x dz hx ' ôiP- Ô3- \ ô.r / '' dz ()x^
ÔT JT ^z àt dz ht '
Substituons dans l'équation aux dérivées partielles du § 502 :
• d^T/hzV dT/hh ^■,<^z\ dz^ [ hx) + dz [àx' ~^'' W)~-^'
Si la fonction f est choisie de manière qu'on ait :
h^z ^ ^hz / àzV , ,
l'équation aux dérivées partielles (1) du 5^ 502 sera transformée en l'équation différentielle ordinaire :
d^-T dT
^'*. — Posons en particulier :
ax àz a h^z àz ax
^^>j2t ' àx—,j2t' "ô^^ ' ^t~~Jt^W' ^^
On trouve l'équation différentielle qui admet l'intégrale
dz" ^ dz
•dz. (2)
En effet (§ i^iS) :
dz —~,Z '^ • (/:' — ./r •" •
;^''. — Nous avons donc en (2) une solution particulière de l'équation aux dérivées partielles. Elle implique que T reste constant cha({ue fois que z reste constant : nous retrouvons la même température pour des abscisses .r de la barre et pour des temps t liés entre eux par la relation ( J). C.ette solution correspond à une expérience particulière qu'il s'agit de préciser.
Pour 3 = 0 (à l'origine des coordonnées quel (jue soit /, pour une valeur infinie de t quel que soit x), on a : T= !.
Pour un temps nul, quel ([ue soit .r, on a : c = ûC. Nous savons
que (S -^09, i") : / e- ^ fi:^ = ^ ', tl'où T =z 0.
Donc à l'origine des temps, la barre supposée indéfinie est à la température 0. Brus(juement on porte l'origine x=^i), à la température 1 , et on l'y maintient indéfiniment.
L'équation (5) fournit la tonq)érature en tout point de la barre et pour un temps quelconque, par rintermédiaire de la variable z. La même valeur de z correspond aux valeurs de x et de / qui sont reliées par l'équation (1).
Pour un temps infini, on a T= i, en tous les points de la barre.
En chaque point la température, sensiblement nulle pendant un certain temps, croît d'abord vite, puis lentement, et tend vers une limite naturellement égale à l'unité, puisque par hypothèse il n'y a pas de perte latérale.
Si les séries sont plus avantageuses quand les conditions de l'expérience permettent de n'en considérer qu'un terme ou ([u'un très petit nombre de termes, il est beaucoup plus commode de discuter la nature d'un phénomène sur une intégrale. Cette remarque est générale : personne ne reconnaîtra dans la série qui représente un sinus le caractère périodique de la fonction.
