Formules d'addition et de soustraction
i°. — Nous ne nous attarderons pas à démontrer les formules fondamentales :
sin (a -|- ^ ) = sin a cos A -[- cos a sin /),
(l) cos (a -\- h) = cos a cos b — sin a sin h.
Elles sont vraies quels que soient les arcs a et b, positifs ou négatifs, inférieurs ou supérieurs à une circonférence. On en tire immédiatement les formules de soustraction :
sin (a — h) = sin a cos b — cos a sin b,
cos (a — Z>) = cos a cos /) -[- sin a sin À,
en vertu des relations :
sin ( — /*) = — sin /j, cos ( — b) = cosb.
Faisant a = b, il vient :
sin 2a :^ 2 sin a cos a, cos 2a = cos -a — sin -a. (3)
On pourrait de proche en proche trouver les valeurs de sin na et
de cos /la; mais nous étudierons (§ 22.')) des méthodes plus rapides.
9^. — Des formules (i) et (.*i), on tire immédiatement le système :
sin (a -)- b) -[- sin (a — b) = 2 sin a cos b , sin (a -\- b) — sin (a — b) = 2 cos a sin b ; cos (a — b) -[- cos {a-\- b) = 2 cos a cos A, cos (a — b) — cos (a -|- /)) = 2 sin a sin h ; qui peut s'écrire :
sin a -|- sin ji = 2 sin — j^— ' cos — k" sin a • — sm p = 2 cos — \ — sm — s"^ •> cos a -|- cos ^ = "2 cos
cos p — cos a = J sm — ^ — sin — j— Il suffît de poser : a = a-f-^< ^ = a — h.
FONC TIONS CIRC ULA IRES
^°. — Faisant dans les formules (4) et (T)) a = ~ ; 2, ou a = 0 on trouve :
l+sinp = 2sinM-f + -^ ,
l— sin3r=2cos^(^-|- + |-y, cos .3 = 2 cos- -^ , l — cos ^=z2 sin- ^ .
/". ' — Le lecteur doit se rendre compte du sens de ces formules en construisant les courbes correspondantes. La figure 41 lui montre
..iy^^^^
Cos'^
"••.. / co/-^X^
JC
B'ig. 41.
comment il faut procéder; elle se rapporte à la première des formules (7). Il remarquera que construire la courbe y z=zf(^x '. n) revient k construire la courbe y = f[x) , puis à prendre pour les mêmes ordonnées des abscisses n fois plus grandes; autrement dit, à dilater la courbe n fois dans le sens des abscisses.
5**. — Voici des relations souvent appliquées qu'on tire immédiatement des formules (3) , (7) et (6) : on se reportera au § 57 pour la définition de la tangente et de la cotangente.
ig-2
1 — cos [3
sm (S
cotg-^
