cos

sm (3

tg^

1 4- sin 3 1 — sin^ *

49. Construction des tables de sinus; valeurs de quelques sinus.

i°. — On vérifiera immédiatement les formules suivantes, dites de Simpson [première équation (4) et première équation (5) | : sin(m-|- !)/)=: 2 sin mj6 cos j& — ^sin{7n — !)/>, cos(m-j- i )/) =: 2 cos mZ> cos Z> — cos (m — \)b.

Ce sont des formules de récurrence [^ 12) permettant de calculer un terme d'une série quand on connaît un certain nombre de termes précédents de cette môme série. Les deux séries à calculer sont :

sin/), sin2j6, sin3/j, ... cos/>, cos2/), cosSb,...

Soient connus sin h et cos h ; faisons m = i , il vient :

sin 21) =z 2 sin h cos h , cos 2b =: 2 cos- h — 1 ,

formules qui donnent : sin2/> et cos 2h. Faisons m = 2, il vient :

sin 3h = 2 sin 2b cos b — sin b, cos 3b = 2 cos 2b cos b — cos b,

qui donnent : sin 3by cos 3b.

Et ainsi de suite.

9^*. — On choisit pour b l'arc de 10".

L'arc de 180** vaut :: = 3,1416; on a par suite :

arc 10' == g^|ôô:= 10 -\ 4,84814.

Comme pour de petits arcs, on peut confondre 1 arc et le sinus (voir table du j:^ 46), et le cosinus avec l'unité, on posera :

sin 10"= 10 -\ 4,84814, cos 10 =1.

On pourra donc calculer de proche en proche les sinus et cosinus de tous les arcs.

S'\ - - On peut calculer directement une série de lignes trigonométriques qui serviront de contrôle. Dans une circonférence de rayon H, on a pour le côté :

du triangle équilatéral : Rv'3 ,

du carré inscrit : R\ 2 ,

de l'hexagone régulier : R,

du décagone régulier : 1^(\^ — Ij ! 2.

D'où 1 on tire :

sin 45° = cos 45° = ^2 ; 2 , sin 30° := cos 60° = 1 ; 2 , sin60°=:cos30° = v^3~: 2, sin 18°=r=:cos72°=: (v/S"— 1) : 4.

cos 1 8° = cos 72° = \^iO-{- 2\IW : 4.

Utilisant les formules du paragraphe précédent, on calculera aisément les lignes trigonométriques de 9" en 9°.