Formules de division

/". AkC donné PAU LE COSIMS.

Quand l'arc est donné par son cosinus , il n'est pas complètement déterminé. Une infinité d'arcs ont le même cosinus (fig. 42); ils cor-

FONC TIONS CIRC ULA IRES

respondent aux points d'intersection A, B, G, D, ... de la cosinusoïde avec une droite parallèle à Taxe des abscisses. Si nous divisons ces arcs par 2, 3, ... , n, nous obtenons une nouvelle série d'arcs

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Jrc donne jD3r 7e Co^sinu^ Fig. 42.

dont les sinus (ou les cosinus) ne sont pas nécessairement les mêmes.

Il est d'abord évident que pour étudier la division par n , il suffit de considérer les arcs compris dans n périodes de la cosinusoïde. Soit en effet e un de ces arcs ; tous les autres seront de la forme

£ -(- Ir.nk ; leur quotient par n sera — -j- 1z.k^ dont les fonctions

circulaires sont les mêmes que celles de l'arc -^.

Etudions en particulier la division par 2. La figure 42 montre immédiatement que les sinus de tous les arcs moitiés des arcs qui ont même cosinus, sont égaux, ou égaux et de signes contraires (points a, (i, y, o) ; les cosinus de tous les arcs moitiés des arcs qui ont même cosinus, sont aussi égaux, ou égaux et de signes contraires (points ex.', P ,

Ce résultat satisfait aux formules (7) du § 48 :

sin

COS

cos

:tv/ï

-}-COS

Pour la moitié des arcs dont le cosinus a la valeur donnée (valeur que nous appelons cos £) , il faut prendre le signe -}- ; pour l'autre moitié, il faut prendre le signe — . Il n'existe, du reste, aucune ambiguïté pratique. En effet, le point d'intersection B, par exemple, étant choisi, l'arc moitié est complètement déterminé (il est limité par la verticale (^g'), et ses fonctions circulaires sont connues.

^°. — Arc donné par le sinus.

Les considérations par lesquelles débute le /", sont encore

lA COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

valables. Pour étAidier la division par 2, il suffit donc de considérer deux périodes de la sinusoïde. 11 est facile de voir que les sinus de tous les arcs moitiés des arcs qui ont même sinus, ont quatre valeurs distinctes, deux k deux égales et de signes contraires. Les cosinus de tous les arcs moitiés des arcs qui ont même sinus, ont quatre valeurs distinctes, deux à deux égales et de signes contraires, et qui

^rc donnè/>ûr/e Swu^ Fig. 43.

sont respectivement égales aux valeurs des sinus. C'est ce que prouve immédiatement la ligure 4.'{.

Voici la démonstration algébrique. On a :

sin- ^ -f~ ^^^' "T ^^ ^ •

2 sin^cos^ = sm £,

D'où, en posant a = itl» î' = it*

sin -^- 4" CCS ^ = s\ î -|- sin £ ,

sm c\ — cos-^ = ^yl

sm z

sm

2 — 2" (aV * + s^"^ ^ + ^V * — sin z ] ,

ces "9" = "ô" [^^ -\- sin £ — a'y/i — sin s ).

Nous trouvons bien quatre valeurs, puisque nous pouvons remplacer l'un ou l'autre des symboles j, j, par le signe -j- ou le signe — . Les quatre valeurs du sinus sont bien les mêmes que les quatre valeurs du cosinus.

Répétons que l'indétermination ne provient que de l'indétermination initiale ; si on précise la valeur de l'arc qu'on divise , les

fonctions circulaires du quotient sont déterminées sans ambiguïté.