BA DB

Par le point D menons une parallèle D^ à la bissectrice des axes.

Le point o donne le temps (5 ans) qui doit s'écouler jusqu'à ce que l'âge du fils soit le tiers de celui du père.

Cette solution graphique, d'une précision limitée, ne supplée pas au calcul; mais elle éclaire remarquablement les conditions du problème. Elle montre qu'à mesure que le temps s'écoule, le rapport des âges tend vers l'unité; elle éclaire la loi de variation et le sens des solutions négatives (dans combien de temps Tâge du père sera -t- il décuple de celui du fils?) , elle remplace une solution numérique unique par l'étude d'une fonction,...

4". — Autre exemple : Quel nombre faut- il ajouter à chacun des termes de la fraction 1 ; 5 pour en obtenir une égale à 9 \ 13?

La solution est immédiate :

■^^-\-x Id '

Mais ce problème ultra élémentaire devient intéressant si l'on

pose : y = {\-\-x)\ (5 -f x) ,

•et si l'on étudie la manière dont y varie quand x varie. Sous une autre forme , c'est le problème traité au S"". On obtient une hyperbole, asymptote à des parallèles aux axes, sur laquelle on fait aisément la discussion.

,5". — Il faut trouver une solution numérique exacte; mais cela n'empêche pas l'intelligence des opérations qu'on exécute. Disons mieux : on est bien plus sur de l'exactitude de la solution quand on l'obtient intelligemment . C'est à quoi la représentation graphique aide remarquablement. Malheureusement la discussion intelligemment conduite du moindre problème est très longue; si on s'en préoccupait au Lycée ou à la Faculté, on ne trouverait plus le temps de dicter les cours : évidemment ce serait un désastre!

520. Abaques, tableaux graphiques, papier quadrillé logarithmique.

Aux ^sj 368 et sq. je parle des abaques construits au moyen de points alignés. On peut en construire d'espèces très différentes et donnant lieu à d intéressants exercices.

/". — Les tables à double entrée^ c'est-à-dire où le nombre qu'elles font connaître dépend de deux variables , se divisent en colonnes longitudinales et en colonnes transversales qui répondent respectivement aux grandeurs des deux variables ou, comme on dit, des deux arguments. La Table de Pythagore est le type du genre.

Une remarque est ici nécessaire. Il ne faut pas prendre toute table contenant des lignes et des colonnes comme représentative d'une fonction de deux variables. Les tables de logarithmes donnent la fonction d'une variable : y = \og x] malgré leur disposition typo-

graphique, ce sont des tables à simple entrée. De toutes les tables numéri({ues contenues dans le présent ouvrage, seules les tables des l:;!:^ 188 et 189, donnant les intégrales elliptiques, sont à double entrée.

De même qu'une table à simple entrée est représentée par une courbe y=zf(^x)^ une table à double entrée est représentée par une surface z^f{x, //).

On a pour la Table de Pjthagore : 3 = .r// ; c'est un paraboloïde.

La représentation plane de la surface se fait au moyen de ses courbes de niveau. Par exemple, pour le paraboloïde de la table de Pvthagore, ce sont des hyperboles équilatères. On en trace un

nombre suffisant et on écrit à côté d'elles leur cote. La figure 320 donne les lignes de niveau 10, 20, 30, 40. Chacun de leurs points correspond à une abscisse et à une ordonnée telles que leur produit soit constant et égal à la cote.

La difficulté d'emploi de tels abaques est dans Y interpolation à vue. Par exemple, le point A de coordonnées 4,5 et 4 se trouve quelque part entre les courbes de niveau 10 et 20. Avec les courbes de niveau aussi espacées que je les ai faites, on ne peut obtenir à vue une grande approximation : nous disons que le produit est au voisinage de 18. Dans l'espèce, le calcul direct est beaucoup pKis rapide que l'emploi de l'abaque : nous savons qu'il donne 18.

i?°. — Anamorphose géométhique.

On facilite singulièrement la construction des abaques par un changement de variables.

Posons par exemple : a:r' = logiP, y'^=\ogy, La surface z:=xy devient :

C'est un cylindre dont les lignes de niveau sont des droites horizontales, parallèles entre elles et perpendiculaires à la bissectrice des axes. Nous avons maintenant pour coordonnées \og x et logî/; mais rien ne nous empêche d'écrire sur les axes les nombres x et y euxmêmes et de donner comme cotes aux lignes de niveau non log z, m.ais z. La complication du problème est reportée sur la graduation des axes; une fois construites ces graduations, le travail ultérieur devient très simple, puisqu'il se réduit à tracer des droites.

On trouA^era dans la construction des abaques un nombre considérable d'exemples intéressants qui apprendront à l'étudiant tout le parti qu'on peut tirer d'un changement de variables (^anamorphose).

S". — Papier quadrillé logarithmique.

On facilitera la construction de bon nombre d'abaques au moyen du papier quadrillé logarithmique (Morin, Paris, les 100 feuilles 26 francs). Les échelles de chaque côté sont logarithmiques au lieu d'être uniformes.

521. Procédés pour représenter une relation entre des droites, situées dans un plan et fonctions d'un paramètre, qui se correspondent une à une.

1'\ — Les droites conjuguées SONT l'une et

l'autre données en position.

Elles sont alors représentées par les équations :

y=a{t).x + h[t), Y = :<(/). X + 3(0. (1) A chaque valeur du paramètre variable t correspondent une droite de l'un des systèmes et une droite de l'autre .

Elles enveloppent généralement deux courbes e et E que l'on obtient (§ 129) en éliminant la variable t respectivement entre les équations :

et : Y = a(O.X + (S(0, a'(O.X + p'Wz=0. (3)

Fig. 321.

622 COiliS DE MATHÉMATIQUES (iÉM-HALES

Chaque droite ;/ coupe sa conjuguée Y sur une courbe G :

qu'on obtient en éliminant / entre les équations (i).

De ce qui précède résulte la construction suivante. Soient données les enveloppes e et E. Par le point a de ^, menons la tangente aC, ; puis de Cl menons à E la tangente C,A. Les droites conjuguées sont aC, et AC, (fig. :\'2\).

^". — Unk des droites est donnée en position ; l'autre n'est donnée qu'en direction.

C'est généralement ainsi que le problème se pose. Les équations (1)

représentent encore les droites \ conjuguées; mais la fonction ,3(/)

est arbitraire, puisqu'on peut mener chaque droite Y par un point quelconque. Nous profiterons de cette circonstance pour choisir la courbe E ou la courbe C.

Dans la première hypothèse, nous i)rendrons [i(/) telle que le résultat de l'élimination de t entre les équations (3) soit l'enveloppe E choisie.

Par exemple, posons identicjuement "^{t) = Ô\ la droite Y est assujettie k passer par l'origine des coordonnées : elle enveloppe un point.

Posons : ,^(/)r=Y„ — :x{t) . X„, la droite est assujettie à passer par le point de coordonnées X,,, Yo.

L'élimination de / entre les équations (1) donne la courbe d'intersection y=zf[x), qui permet d'achever la construction. La figure 322 suppose que la droite Y est assujettie à passer par le point fixe E.

Dans la seconde hypothèse, nous prendrons la fonction ^if^) telle que le résultat de l'élimination de t entre les équations (1) donne une courbe C choisie à l'avance, par exemple une droite, un cercle,... une courbe de forme simple. L'élimination de / entre les équations (3) fournit alors l'enveloppe E correspondante. C'est ainsi qu on a coutume d'opérer pour représenter les résistances à la translation dans un fluide (voir Mécanique physique).

Comme cas particulier de la première hypothèse, on peut citer la relation qui existe entre le rayon vecteur à une courbe donnée en coordonnées polaires, et la tangente à cette courbe. L'enveloppe E des rayons vecteurs est l'origine des coordonnées, l'enveloppe e est

Fig. 322.

EXERCICES PRA TIQ UES E T MA XIP ULA TIONS 623

la courbe elle-même; enfm la courbe G se confond avec l'enveloppe e.

On trouvera un grand nombre d'exercices intéressants en prenant pour point de départ les considérations précédentes.