Équations des courbes. Papiers quadrillés

On peut proposer aux. étudiants doux espèces d'exercices. /". — On leur donne une équation : il s'agit de déterminer la courbe Correspondante.

Pour tirer de cet exercice les avantages qu'il comporte, il faut proposer non pas une courbe, mais un faisceau de courbes; c'est dire que l'équation ne doit contenir que' des coefficients numériques, à l'exception d'un paramètre dont la variation amènera les modifications de la forme^Du reste, c'est ainsi que les courbes se présentent ordinairement dans les applications (courbes de niveau, projection des lignes de plus grande pente, de courbure,...). On habitue ainsi l'étudiant aux déformations continues ; les courbes obtenues pour diverses valeurs du paramètre se contrôlent les unes les autres ; les erreurs grossières sont automatiquement évitées.

Il n'est pas nécessaire que l'étudiant construise un très grand nombre de faisceaux ; il est infiniment plus utile de l'obliger à rester sur quelques exercices complets et bien choisis le temps nécessaire ; trois ou quatre jours de travail peuvent être considérés comme un minimum.

La construction d'un tel faisceau montrera à l'étudiant le parti qu'on peut tirer d'une table des carrés, cubes,...

''2''. — Les courbes une fois calculées et tracées à mesure, sans grande précision , et uniquement pour ordonner et faciliter les discussions, il ne faut pas s'en tenir là. On doit exiger un dessin correct et propre de l'ensemble du faisceau. Ceux qui ont l'habitude des copies du baccalauréat savent que la propreté n'est pas une qualité dominante des élèves de nos lycées : on imagine difficilement les gribouillages ignobles que les candidats osent remettre ; de telles copies ne seraient pas tolérées dans une école primaire supérieure, encore moins dans un bureau d'études industrielles.

Que les dessins soient à main levée ou exécutés avec le secours des pistolets, on utilisera du papier quadrillé, car il est bien inutile de compliquer artificiellement les constructions. On emploiera soit le papier blanc de commerce quadrillé au demi- centimètre, soit le papier quadrillé au millimètre. Ce dernier coûte environ 4 francs le rouleau (40""" ou ÏO'^'" de largeur sur 10 mètres de longueur, bistre ou bleu). Il existe même pour le prix double du papier quadrillé calque. Pour les courbes à construire une fois pour toutes et à conserver, on emploiera le papier quadrillé collé sur toile, dont le prix (IG fr. le rouleau de 0"',75 X 10"', Morin, Paris) mettra chaque courbe à moins de deux francs.

2". — Il est intéressant de tracer (mécaniquement ou autrement) une courbe dont on connaît la forme d'équation, de faire des mesures sur le dessin obtenu, d'utiliser les nombres, quelques-uns pour calculer les coefficients numériques de l'équation, les autres pour vérifier leur exactitude.

On construira mécaniquement des ellipses ou des hyperboles en utilisant les propriétés des foyers, ou à l'aide à' ellipso graphes (voir catalogue de Morin). On mesurera les abscisses et les ordonnées,

soit avec un décimètre (au dixième de millimètre), soit directement sur le papier quadrillé. On vérifiera ainsi les équations.

Toute courbe de définition géométrique simple peut servir à cet exercice (par exemple, le limaçon de Pascal). Les cycloïdes, épicycloïdes,... se présentent aussi naturellement. Elles ont même l'avantage d'exiger des calculs de lignes trigonométriques. Pour celles-ci on se servira des tables de sinus,... naturels.

526. Racines des équations , points remarquables des courbes.

/°. — Gomme cas particuliers de la construction des courbes, on cherchera les racines des équations algébriques ou transcendantes, avec application des méthodes d'interpolafcion soit linéaire (§ 38, ^°), soit de Newton ()^ 38, S").

On résoudra les équations transcendantes par des intersections de courbes. Le professeur trouvera aisément des exemples dans lesquels le choix est arbitraire [i'enionds pratiquement arbitraire, théoriquement il Test toujours) ; ce qui donne lieu à d'intéressantes vérifications, toutes les courbes devant passer par le même point.

"2". — Comme autre cas particulier, on étudiera numériquement les courbes au voisinage do leurs points singuliers. C'est la meilleure méthode pour que l'étudiant comprenne de quoi il s'agit. On sera souvent amené à pousser les calculs plus loin que le quatrième chiffre significatif, pour ojjtenir un résultat sûr. (Test à ces cas que je pensais au |:j 518, /', quand je donnais quatre chiffres comme limite inférieure rarement dépassée.