Différentielles du sinus et du cosinus
i°. — Soit dx un arc sur lequel nous ne ferons d'abord aucune hypothèse. On a [ § 48, formules (1) J :
sin (.T -f- d.r) — sin x = sin x (cos dx — 1 ) -f- cos x sin dx , cos (x -f- dx) — cos X = cos x (cos dx — 1 ) — sin x sin dx.
Supposons maintenant que dx soit une quantité plus petite que toute quantité donnée ; autrement dit, dx est la différentielle de x. Nous admettrons comme évidentes les relations :
cos(/x = l, sin dx = dx.
D'où : d sinx=:cosx dx^ dcosx = — smxdx.
Montrons la concordance de ces formules et des figures. Considérons, par exemple, la sinusoïde (fig. 40) :
y r=isina?.
Le quotient dy '. dx=:cosx, mesure la pente de la courbe. En 0 elle est maxima ; de 0 en A, elle est approximativement constante, puisqu'elle est proche d'un maximum. Elle diminue et s'annule pour x = T : 2, qui annule le cosinus. Puis elle devient négative.
Et ainsi de suite.
^°. — Pente a l'origine.
Dans la sinusoïde normale (fig. 38), pour laquelle les échelles des abscisses et des ordonnées sont les mêmes, la pente à l'origine est :
cos 0 = 1.
La tangente à l'origine est bissectrice des axes de coordonnées. Mais généralement les échelles des ordonnées et des abscisses ne sont pas les mêmes. Soit à étudier les courbes :
y r= A sin 2:: — , ;3 =: A COS 2:: Y" •
A représente l'ordonnée maxima : on la désigne sous le nom d'amplitude ; a est la longueur d'abscisse qui correspond à la période. Un calcul identique au précédent donne :
dy , 2tz ^ x dz . ^t: .^^^
dx A K ' dx A A
En particulier, la pente à l'origine est pour la sinusoïde :
dx
La tangente à Torigine a donc pour équation :
En particulier, elle coupe l'ordonnée d'abscisse x = \', i^ à une hauteur y donnée par la formule :
y=zT.A: 2 = 1,57. A.
Ce résultat est intéressant quand on veut construire une sinusoïde, ce qui arrive à tout instant en Physique. Pour la sinusoïde normale, on a : a = 2'::A, quelle que soit l'unité de longueur choisie.
Corrélativement la tangente à l'origine a pour équation : y=ix.
S"". — Prendre des échelles différentes sur les axes de coordonnées pour construire les courbes :
y = sin X, z=i cos x,
revient à prendre la même échelle et à construire les courbes :
V = A sin 2t: — , :; = A cos 2- ^- .
52. Amplitude, phase ou décalage. Somme de plusieurs sinusoïdes.
/". — Soit la sinusoïde :
y-=i A sin ((ox — x) .
A représente Wunplifudc : c'est l'ordonnée maxima. Nous posons : (ù = 2z '. A. La longueur dont il faut se déplacer sur l'axe des abscisses pour obtenir des ordonnées identiques avec des pentes identiques, est un multiple quelconque de "a. Enfin a mesure le décalage ou la phase ; a iixe les points où les ordonnées s'annulent, les zéros de la sinusoïde. Pour ces points on a :
iùX — x = tir., x= -ô;j -\- H „2 •
î?". — Supposons tracées plusieurs sinusoïdes de même période :
y^^A sin (co.r — a), 7/2 = H sin ((oar — p), ...
Additionnons les ordonnées. Nous obtenons une nouvelle courbe qui est une sinusoïde et dont il s'agit de calculer les éléments.
Soit: Y = Rsin((ù.r — p),
la courbe cherchée. Identifions :
A sin [lùX — a) -j- B sin {iùx — fj)-j- ••• =Rsin (wx — p).
Développons les sinus ; il vient :
(A cos a -f- B cos fi -(-... ) sin tùx — { A sin a -]- B sin |3 -f- . . . ) cos (j)X
= R cos p sin lùx — R sin 2 cos lùx.
FONC TIONS CIRC ULA IRES
Celte condition doit être satisfaite identiquement, c'est-à-dire quel que soit x. Il suffît de poser les relations :
A cos a 4" B cos p -|- • • • = R cos p , A sin a + B sin (S -^ . . . = R sin p , qui définissent complètement R et p.
Montrons-le comme résultat de la règle de Fresnel.
