Règle de Fresnel
Raisonnons sur deux sinusoïdes. Prenons des axes de coordonnées rectangulaires OX, OY. Traçons une droite OA ayant la longueur A et faisant avec OX l'angle a mesuré par l'arc x qui entre dans î/^. Traçons une seconde droite OB ayant la longueur B et faisant avec OX l'angle g mesuré par l'arc ^ qui entre dans y^.
Construisons la diagonale du parallélogramme. Je dis que sa longueur est R et qu'elle fait avec OX un angle p qui correspond à l'arc p que nous cherchons. En effet, projetons sur OX et sur OY; on a :
A cos a -j- B cos g = R cos p ,
A sin a -[- B sin g = R sin p.
La règle se généralise immédiatement pour un nombre quelconque de sinusoïdes.
Nous supposons que les angles a, (3, ... sont positifs. S'ils sont négatifs, on les portera en sens inverse de la flèche f.
Nous supposons A, B, ... positifs. S'ils sont négatifs, après avoir déterminé leurs directions au moyen des angles a, 3? on les portera à partir du point 0 sur cette direction, mais en sens inverse y' c'est la conséquence de la relation :
A sin [(ùx — y-) = — A sin [iùx — a-4- tt).
Enfin nous supposons que dans la somme à effectuer il n'entre que des sinusoïdes. Si l'une des courbes se présente sous la forme : Acos(w^ — a), on utilisera la relation :
cos ((.)/ — a) = sin -^ — [lût — a) \ = sin ( c On opérera comme pour un sinus , mais on diminuera l'angle a de
54. Addition de deux sinusoïdes dont les périodes sont peu différentes. Battements.
Soit à additionner deux sinusoïdes dont les périodes sont peu différentes :
78 COURS DE MATHEMATIQUES GÊNÉliAEES
Four simplifier, nous leur donnerons même amplitude :
î/i = A sin wic, î/2 = A sin [(oj-j-w')-^ — ^c], (1)
Y=-2/i + 2/2 = 2A cos(^-^ — |-jsin (« + -|-)^ — -| • (2)
La quantité J étant très petite , la courbe Y possède une période très voisine des périodes des courbes composantes (1); mais son amplitude est lentement variable.
Pour énoncer plus commodément le résultat, nous introduirons la fréquence. C'est le nombre de périodes dans l'unité de longueur.
TVT /• ' 1 (0
JNous poserons : /requ€nce = y = -z- = -^^.
Les fréquences des courbes composantes sont donc o) ; 2^ et (o) + o3') :27:.
La fréquence de l'amplitude est (.>' ; i- ; elle est moitié de la différence des fré(juences des courbes composantes. C'est à ces variations d'amplitudes qu'on donne le nom de battements. Si le phénomène mesurable dépend seulement de la valeur absolue de Taniplitude et non de son signe, il aura deux maximums par période. D'où la conclusion : le nombre des battements dans l'unité de longueur est é(jal à la différence des fréquences des courbes composantes.
Dans la })ratique, il s'agit de mouvements ; les abscisses x représentent des temps. La règle devient : le nombre des battements dans l'unité de temps est égal à la différence des fréquences des mouvements composants.
