Courbes de Lissajous

/". — On appelle courbes de Lissajous les courbes qui résultent de la composition de deux mouvements rectangulaires exprimés en fonction du temps (variable auxiliaire) par les relations :

0? = Asin ((0,/ — a), y = B sin (i^ij — g).

Les périodes sont :

Tj = 2- ; (,), , Tj = 2:: ; <i>,.

Pour que la courbe décrite soit fermée, on doit avoir :

mo)^=. niô2, «Ti = mTi = 6,

où m et n sont des entiers que nous supposerons premiers entre eux. Après m périodes T^ de l'un des mouvements, par conséquent après 71 périodes T^ de l'autre, tout revient dans l'état initiaL

i^". — Supposons qu'il en soit ainsi. Les courbes sont fermées et inscrites dans des rectangles de côtés 2A et 2B. Cherchons comment elles dépendent des paramètres a et g.

Quand nous changeons l'origine des temps, nous ne modifions pas la forme des courbes. Gela revient cependant à remplacer :

lù^t par 6)i/-|-63iG, 0)2^ par cù4-\-o^^.

La forme des courbes dépend donc de la différence :

Cùj (1)2

En effet, une fois le changement de l'origine des temps effectué, les mouvements deviennent :

a? = A sin (wj^ -|- ^1^ — ^)' y = ^ sin {to^^t -j- oisO — p).

Le temps 6 est arbitraire : posons g)i6 = a ; il reste :

=:AsinG)i^, ?/ = B sin

ce qu'il fallait démontrer.

^°. — Prenons le mouvement sous la forme :

. . 2tm . 2T.m . . ...

iP = Asm— -T— ^ ?/ = bsm— TV— (^ — t). (1)

Pour obtenir toutes les trajectoires possibles, il suffit que la constante T varie de 0 à :

e T, T, mn m /i '

autrement dit, le mouvement redevient identique à lui-même quand on remplace t par t-|-0 .* nin. En effet, changeons l'origine des temps, ce qui ne change pas la forme de la trajectoire : remplaçons t par t-\-^. Ajoutons 6 ! mn à t; le nouveau mouvement a pour équation :

.. = Asm^(< + e), 2/ = Bsin^(/ + 6-x-^). (2)

Ecrivons que les mouvements (1) et (2) sont identiques. Les quantités jj. et v étant des nombres entiers , il suffit de poser :

n ' mn ^' m ^

d'où : mv — n\).=:z{, (3)

Cette équation peut toujours être satisfaite par des valeurs entières de !j. et de V.

Donc la période pour t est bien G ; mn.

4" — Le calcul des courbes se fait très simplement, grâce à la table du § 46. La figure 45 représente le cas de l'octave :

x = sin{2ix)t-[-o), y = sincùt. (4)

Le changement de sens de circulation du mobile se produit sur une courbe parcourue successivement dans les deux sens ; par suite, le sens de circulation y est indéterminé. C'est ici un arc de parabole :

0 = TU ; 2 ; .r = cos 2(ùt = cos^ oit — sin^ (,)t

y = sin lût

La figure io représente la moitié du phénomène total. Quand 5

JC

S-jx

varie de tt à 2::, on obtient des courbes symétriques par rapport à une verticale.

La variation de c est conforme à la proposition ,'^". On a ici m = i, /ir=2, mn = 2. La variation c doit correspondre à la moitié d'une période 0 du phénomène, c'est-à-dire à une période du phénomène périodique le plus rapide dont l'élongation est x.

t^". — Si la condition : //ifo, =: nwo,

où m et n sont des entiers, n'est satisfaite qu'approximativement, la courbe n'est pas fermée. Soit :

une valeur voisine de (o,, dont le rapport avec m, est rationnel. Les équations du mouvement peuvent s'écrire sous la forme (4) généralisée, à la condition de remplacer to, par w',, et simultanément de prendre pour o une fonction linéaire du temps facile à déterminer.

Tout se passe comme dans le premier cas , mais avec un z lentement variable. On observe donc successivement toutes les courbes pour lesquelles les fréquences sont dans le rapport rationnel et qui correspondent à diverses valeurs de o. Par exemple, si le rapport est voisin de 2, on verra successivement les courbes de la figure 45 et les courbes symétriques par rapport à une verticale.

C'est en cela que consistent les battements pour deux mouvements sinusoïdaux à angle droit.