Définition de la tangente et de la cotangente

/". — Soit A l'extrémité de Tare dont l'origine est le point 0; prolongeons le rayon AG jusqu'à sa rencontre avec les droites A

Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse. D

et A' tangentes au cercle aux points 0 et 0'. Nous appellerons tangente de Tare OA la longueur Ot, cotangente du même arc la longueur Oy.

La tangente est positive par convention quand le point t est audessus de la droite D, négative quand il est au-dessous. La cotangente est positive quand le point y est à droite de D', négative quand il est à gauche.

Les triangles semblables donnent :

cotg j: =

sm X

cosa? '

cosj:r sina?

On vérifiera que les relations (i) et (2), qui définissent la tangente

Fig. 46.

et la cotangente en fonction du sinus et du cosinus, sont exactes en grandeur et en signe, quelle que soit la position du point A sur la circonférence.

Les arcs terminés en A ou au point diamétralement opposé A ont même tangente et même cotangente; d'où la relation :

tgJ^ = tg(T:-|-x), cotgj:'=:cotg(r+ar).

La période de ces fonctions est donc z.

^. — Le fonction î/==tgir est nulle pour j^-^^^O. Au voisinage de j?=::0, la courbe se confond avec la bissectrice des axes. En elTet, sinic se confond avec x, et cos x est quasiment invariable et égal à l'unité.

La tangente de Tare x devient égale à l'unité pour x^=t.'. i. Elle croît indéfiniment quand on s'approche de r, [ 2. Les deux droites D' et A étant parallèles, la tangente est plus grande que

FONCTIONS CIRCULAIUES 83

toute valeur fixée à l'avance pour x = 'î: ', 2; on dit qu'elle est infinie; on pose ig^r. '.2) = oc

Deux droites parallèles peuvent être considérées comme se coupant à l'infini à l'un ou l'autre de leurs bouts. On peut donc écrire aussi bien tg (:: ; 2) = — oc. Ce ne sont là que des façons de parler commodes pour généraliser les énoncés.

Dès que l'arc est supérieur à t: ; 2 , la tangente reprend une valeur bien déterminée, très grande et négative; puis sa valeur absolue diminue pour redevenir nulle quand l'arc atteint la valeur t:. La tangente à la courbe représentative est la bissectrice des axes. Gomme nous savons que la période de la fonction igx est x, nous obtiendrons la suite de la courbe indéfinie en déplaçant le morceau que nous venons de construire, de kiz parallèlement à l'axe des abscisses.

,^°. — On vérifiera de même que cotgo? est positive et très grande pour toute valeur de x positive et voisine de 0 ; elle diminue quand x croît. Elle coupe tga? sur la droite A' d'ordonnée 1 pour x=^7: '. 4. Elle s'annule pour a? = 7: ! 2; la tangente à la courbe représentative est alors bissectrice des axes.

Pour a? >- t: ; 2 , cotg x devient négative ; sa valeur absolue croît indéfiniment quand x s'approche de ::. Pour x = '7:, la cotangente n'est plus définie; pour généraliser les énoncés, on pose :

cotg 7: = -l- oc.

.p, — Les courbes qui représentent igx et cotg a? sont symétriques par rapport aux verticales d'abscisses :

^ "2" ^^'^ T ' comme il résulte de la relation :

cotg(|-a.) = cos(^-.T):sin(|-.^)-^';^^^^

50 En définitive, la fonction tg.T est complètement définie par la fonction sinrr, puisque cosa; n'est qu'un sinus décalé. La fonction cotgic est l'inverse de igx. Pourtant on ne se contente pas de la fonction sini^; qui, à la rigueur, suffit à tout, parce que, dans les applications, la combinaison sina?:cosii? et son inverse se présentent fréquemment. Il est bon d'en connaître à l'avance les propriétés et d'en avoir dressé des tables numériques.

00 __ Un arc donné par sa tangente n'est défini qu'à un multiple de -:: près; ses sinus et cosinus ne sont donc donnés qu'au signe près (fîg. 46). On a :

tg^- , ___J

— V^i -}- tg^ iC V A H- ig ^

8i COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES