Définition de la sécante et de la cosécante
Reprenons la figure 46. Soit A rextrémité de Tarca:. Nous poserons :
séc:r=r:CT, coséca7 = Cy.
Ces nouvelles fonctions sont conventionnellement positives quand la droite qui les définit passe par Fextrémité de l'arc. Ainsi la
yri\
î ZK
Fig. '.7.
sécante comme le cosinus est positive dans les quadrants 1 et WJ^ négative dans les quadrants ^ et A. On a : /
Ct CO CA CM '
^^^^^co-sx
Gy CO'
C0SéCd7 = — ^
CA
CN
sma:
Gomme le cosinus n'est qu'un sinus décalé de z '. 2 parallèlement aux abscisses, la sécante n'est qu'une cosécante décalée de t: ; 2. Elles seront donc représentées par les mêmes courbes.
On voit dans la figure 47 une sinusoïde et la cosécantoide correspondante. Les deux courbes sont tangentes pour les arcs multiples impairs de t: : 2; pour les multiples pairs, le sinus s'annule, la cosécante croît indéfiniment. Comme le sinus change alors de signe.
la cosécante passe brusquement de -|-oc à — oc, ou de — oc à -[~^^- La courbe est asymptote aux verticales qui correspondent à ces abscisses.
Nous signalons seulement ces fonctions circulaires; on ne s'en sert jamais y du moins en France. Aussi nous n'en donnons pas de tables. Au besoin on les calculera, à partir de la table des sinus, à l'aide d'une table des inverses.
Fonctions usuelles construites avec les fonctions circulaires fondamentales.
62. Étude de la fonction sina? : x. /°. — Nous connaissons les valeurs de s in a? en fonction de xy nous pouvons donc calculer les quotients sin x '. x et construire la
Fig. 48.
courbe représentative point par point. La figure 48 représente le résultat du calcul.
Il est d'abord évident que les courbes sin x et sin x ; x ont leurs zéros pour les mêmes valeurs de x, la valeur x = 0 exceptée.
Pour x==0 , le quotient sin x [ x se présente sous la forme 0 ; 0; évidemment cela ne signifie quelque chose que conventionnellement. Mais nous savons que pour de petites valeurs de x, sin a? est très sensiblement égal à a;, et d'autant plus voisin de x que X est plus petit.
Nous admettrons donc comme évident que la limite du quotient sin a? ; X est l'unité^ quand x s'annule.
Nous pouvons dire la même chose en d'autres termes. D'une manière générale nous avons :
d sin X = cos x dx.
Au voisinage de j" = 0, on a sensiblement :
dx=^x, (/ sin .r = sin j: — sinO=:rsinic.
D'où enfin sensiblement : sin a? ; x = cosic.
Cette relation ne s'applique qu'au voisinage immédiat de x = 0. Nous démontrerons (§ 257) les relations plus approchées :
sin x = X — -TT- , cos x=\ — -^ ;
j, , sin a? . x^ . x^
a ou : =1 ^- = cos x -\- -ô- .
La courbe que nous construisons reste au-dessus de la cosinusoïde pour de petits arcs (fig. i8).
S^. — Comme il faut diviser les ordonnées sin x par une grandeur qui croît avec x (ici elle est égale à x^ mais notre remarque est plus générale), les maximums et minimums de sin x ; x ont évidemment lieu pour des valeurs de x plus petites que les maximums et minimums de sin x.
Pour préciser, calculons la dérivée de y=zsin x ', x.
, , sin .r cos X , sino? , 1 / sina^X, (iij = a r=z dx — ^ ax= I cos x — mx.
Les maximums et minimums sont fournis par la condition : dy
dx
0, tgj-^j-.
Nous étudierons plus loin cette équation transcendante (§^66). Nous montrerons que les valeurs de x qui y satisfont, sont :
La diiîérence des abscisses des maximums et minimums des deux courbes est d'abord considérable (z ! 2); elle tend rapidement vers 0.
