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64. Résolution de l'équation sin x = ax. /". — ■ Les équations de cette nature portent le nom de transcendantes, par opposition avec les équations algébriques dont il est parlé au Chapitre IL Résoudre les équations transcendantes, c'est, comme précédemment, chercher une valeur de la variable qui, substituée dans l'équation, la transforme en une identité. // n'y a d'autre méthode générale que de tâtonner; mais il faut apprendre à diriger les tâtonnements.
Considérons les deux courbes (lig. 49 :
y==:sinx, z = ax.
Nous savons les construire l'une et l'autre ; les racines de l'équation à résoudre sont données par leurs points d'intersection. En effet, ils sont définis par la condition que, pour la même abscisse x, les ordonnées soient les mêmes :
yz=z, sin:r = aj".
Menons donc (fig. 49) des droites de plus en plus inclinées
\>n Arc
Fig. 49.
1, 2, 3, ...; étudions comment elles coupent la sinusoïde.
Mais une remarque essentielle est nécessaire. Dans la sinusoïde normale , c'est-à-dire pour laquelle les échelles des abscisses et des ordonnées sont les mômes, la période en abscisses )v (§51) doit être 2;: fois l'ordonnée maxinia. Il n'en est pas ainsi sur notre figure; la période X est à l'ordonnée maxima dans le rapport 12; 5 = 2,4. C'est dire que toutes les ordonnées ont été multipliées par :
On ne l'oubliera pas dans la construction des droites. Ainsi la droite y=zx^ qui doit être tangente à la sinusoïde à l'origine, a effectivement pour équation : î/r=2,61j-.
Raisonnons comme si la ligure 49 était normale.
t^". — Ceci posé, pour toutes les droites dont le paramètre a est plus grand que 1, seule la valeur j^ = 0 satisfait à l'équation.
Il n'y a qu'une racine.
11 semble d'abord qu'il en soit de même pour la droite y=:^x. Mais si la racine .r = 0 existe encore seule, elle jouit de propriétés particulières. Non seulement la droite y = x est tangente à la sinusoïde, mais encore c'est une tangente d'inflexion; nous disons (8 33) qu'il y a trois racines égales.
Inclinons la droite davantage (droite 3) : il n'y a plus que deux
racines simples: x = 0 et une autre comprise entre 0 et x. Jusqu'au moment où la droite 4 devient tangente à la seconde boucle de la sinusoïde; il y a alors deux racines simples (a?o = 0, iCi-<7u) et une racine double. Pour la droite 5, nous avons quatre racines simples. Pour la droite 6, quatre racines simples et une racine double. Et ainsi de suite. Nous nous bornons aux racines positives. J°. — On peut faire la même discussion au moyen de la figure 48. Nous devons satisfaire à l'équation :
sina?
cela revient à trouver les intersections de la courbe y=sinx ; Xy et de la droite horizontale z=^a.
Plaçons cette droite suffisamment haut et faisons-la descendre.
Elle ne commence à rencontrer la courbe y = sinic ; x, que pour a = l. Elle lui est alors tangente. Abaissons-la davantage, elle coupe la courbe une fois. Puis elle devient tangente à une boucle non tracée, qui se trouve comprise entre les abscisses 2t. et Sx. Puis elle coupe cette boucle en deux points. Et ainsi de suite : nous retrouvons les résultats précédents.
^". — Il y a cependant un désaccord dont la raison est très intéressante.
La première. méthode nous donne toujours une racine pour icr=iO, quel que soit a. Manifestement la seconde méthode n'en donne pas. Gela tient à ce que le rapport sinic ; x n'a réellement pas une valeur déterminée pour it; = 0 ; il n'a la valeur 1 que conventionnellement, comme limite. Étant quelconque, il peut être représenté par l'axe Oy tout entier : il est donc coupé par une horizontale, quelle que soit sa hauteur.
5°. — Déterminer dans la première méthode les valeurs de a pour lesquelles les droites sont tangentes aux boucles successives de la sinusoïde, revient à déterminer dans la seconde méthode les ordonnées maxima de la courbe sina; ; r. Les abscisses de tangence sont (§ 62) fournies par la condition :
