Valeur limite. Dérivée. Différentielles

/°. — Reprenons la figure 3 et cherchons à définir la valeur numérique de la vitesse vraie au point A. La vitesse moyenne entre les points A et B, vitesse mesurable et pour laquelle il n'existe pas de difficulté théorique , est le quotient :

Nous admettons intuitivement comme exact que nous aurons la vitesse vraie au point A , en prenant des points B de plus en plus voisins de A. Ce n'est pas que l'expérience devienne ainsi plus précise ; au contraire, les erreurs croîtraient rapidement et rendraient bientôt le résultat illusoire Personne n'aura l'idée, pour déterminer la vitesse d'un train, de mesurer le temps qu'il met à parcourir un mètre ou un centimètre.

Mais les mathématiques nous fournissent des lois idéales de mouvement que nous pouvons étudier a priori, pour lesquelles les erreurs expérimentales ne sont pas à craindre, et auxquelles nous pourrons ensuite comparer les mouvements réels.

^°. — Supposons choisie une de ces lois. Tant que le point B reste distinct du point A, nous avons des valeurs correspondantes parfaitement déterminées de A^ et de A^ ; le quotient reste lui-même parfaitement déterminé.

Quand le point B se confond avec le point A, nous avons simultanément A5=:0, A^ = 0; le quotient As : At prend la forme 0 ; 0 qui ne signifie absolument rien. Mais le calcul différentiel nous permet d'extrapoler par continuité une valeur limite.

En effet, admettons calculée la valeur exacte du quotient As ; A^

1i COi'RS DE MATlIKMATIQi'i:S GÉ^ÉHALKS

en fonction de As. Si elle tend vers une valeur parfaitement déterminée quand \s diminue, nous pouvons admettre qu'elle aura rij^oureusement cette valeur pour As = 0.

Nous définirons ainsi la limite du quotient :

T As ils 1 - • / 1 L ^ 1

lim — — z=z — r-= dérivée de s par rapp :)rt a /. It (If i if

S". — Fixons les idées par un exemple. Prenons commo loi du mouvement :

sr=ut--\-hl-^c; {[)

on a : .s--f As =:a(/ + A/)- + />(/ + A/) ^-c,

ls = {2al + h)M+aM\ ^ =:2at-{- h +aM. :1

Ainsi le quotient As ; A/ a une valeur (2) parfaitement déterminée, ({uels que soient \t et i)ar suite As. Cftte valeur s'approche indéfiniment de 2at-\-h, quand A/ tend vers 0. Nous poserons que la valeur limite est exactement 2at-\-Jj, pour A/=r=0, et nous écrirons :

(Is y As .) / 1 /

-/". — D'une manière générale, soit s=:/'[l) la loi du mouvement. Le symbole signifie que la fonction s est reliée à la variable t par un procédé que je ne spécifie pas pour le moment, mais dont il me suffit de savoir qu'il permet de calculer la ou les valeurs de s quand je donne la valeur de /; par définition, s est fonction de /.

Si le temps (qui est ici la variable) subit un accroissement A/, l'espace (qui est ici la fonction) subit un accroissement As. J'écris donc :

s~{-ls = f{t-\-M).

D-où: A. = /-(H-AO-A^. 4î = ii^+^pM.

Jusqu'ici rien de nouveau. Supposons que A/ tendant vers 0, le dernier (juotient tende vers une valeur bien déterminée; je poserai que pour \l^=^0^ cette valeur est ri(/oureusement exacte: ce sera la dérivée de s par rapport à / :

Quant au calcul de cette dérivée, on ne peut évidemment l'efTectuer qu'après avoir choisi la définition de la fonction /" : l'opération (3) n\'st (ju indiquée.

Les quantités ds et dt s'appellent des différentielles.

Par définition, elles ne sont ni grandes ni petites; ce sont des quantités qui tendent vers zéro. Ceci posé, dans la pratique on les

BUT ET PROCEDES Di' CMjA'L DIEEEREMIEL

représente sur les ligures et on les traite comme les différences fini

les,

As, At, dont elles sont les limites. Gela n'a pas d'inconvénient pourvu qu'on n'oublie pas les définitions.