Triangles sphériques ; triangles supplémentaires

/°. — On appelle triangle sphérique une portion ABG de sphère limitée par des arcs de grands cercles a, j6, c. G'est la figure tracée sur la sphère par trois plans a, i), c, qui passent par le centre. Les arcs a, i?, c, s'appellent les côtés du triangle ; nous les supposerons

Fig. 5:v

toujours moindres qu'un demi grand cercle. Les angles dièdres,

A, B, G, sont les angles du triangle.

Nous pouvons toujours prendre pour unité le rayon de la sphère

sur laquelle se trouve le triangle sphérique ; les longueurs des arcs

a, h, c, sont alors mesurées par des nombres qui sont les arcs au sens trigonométrique du mot.

^°. — Par le centre de la sphère, menons trois droites perpendiculaires aux plans /< , />, c. Elles coupent la sphère en six points, deux à deux placés aux extrémités d'un diamètre. En choisissant convenablement les extrémités A', B', G', nous pouvons former un nouveau triangle dont les côtés sont encore inférieurs à un demi grand cercle et qu'on appelle triangle polaire du premier ; réciproquement , le

premier est polaire du second. On vérifiera immédiatement que les

côtés de l'un des triangles sont supplémentaires des angles de

l'autre: ,'t'-|- A =:ci-|- A' = 7:,

/^'-t-B = />-fB' = r, c'-|-G=:c-fG' = r.

Donc toute relation démontrée entre les angles et les côtés d'un triangle sphéri(jue quelconque, devant s'appliquer également bien à l'un et l'autre triangles polaires, subsiste quand on y remplace les angles par les suppléments des côtés, et les côtés par les suppléments des angles.