Angles solides ; surface des polygones sphériques
i°. — Soit une courbe fermée quelconque G. Une droite passe par le point 0 et s'appuie constamment sur la courbe : elle détermine un cône. Avec le point 0 comme centre , traçons une sphère dont nous prendrons le rayon pour unité; par suite, l'unité d'aire sera l'aire du carré ayant ce rayon pour coté.
On appelle angle solide du cône. Taire de la portion de sphère déterminée par le cône.
Représentons-nous un parapluie fermé :
l'angle solide déterminé par l'étod'e est nul. Ouvrons- le de manière que l'étoffe supposée élastique s'applique sur le plan normal au manche ; l'angle solide est moitié de la sphère, soit St:. Enfin rabattons l'étoffe contre le prolongement idéal du manche, comme il advient dans la pratique par un grand vent : l'angle solide vaut l'aire de la sphère, soit 4tc.
La considération des angles solides est fondamentale en Physique ; îeur mesure se ramène à la mesui^ des aires des portions de sphère limitées par des courbes données. Voici quelques exemples.
5°. AlUE DU FUSEAU *, ANGLE SOLIDE d'uN ANGLE DUÎDRE.
On appelle fuseau la portion de la surface de la sphère limitée par deux grands cercles AB"A', AG'A', passant par les; extrénaités d un
Fig. 55.
COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉliALES
diamètre commun AA'. Le cône correspondant est formé par les deux plans passant par ce diamètre : son sommet est en 0.
L'aire S du fuseau est évidemment proportionnelle à l'angle plan ^ du dièdre C"()B' . Cet angle est égal à
l'angle que font entre elles les tangentes menées en A aux deux grands cercles.
Aussi dirons -nous que l'aire du fuseau est proportionnelle à l'angle A.
On a : S=rAA.
Pour A = 2::, Taire du fuseau est égale à celle de la sphère, soit 4?:.
Le coefficient de proportionnalité /.- se trouve ainsi déterminé :
Srrr2A
Ainsi l'aire du fuseau est égale à deux fois son angle plan. Gela veut dire que, pour avoir cette aire, il faut multiplier par 2A l'aire du carré qui a pour côté le rayon de la sphère.
// va de soi que A nest pas évalué en derjrés^ mais en radians.
L'unité d'angle (radian) évaluée en degrés est 57" 17 45" ():{ 65).
,S'\ AiRK DU TRIANGLE SPHKRIQUE ; ANfiLE SOLIDE LIMITÉ PAU UNE
PYRAMIDi; IRI ANGULAIRE.
Considérons les trois fuseaux déterminés par les angles A, B, C, du triangle sphérique ABC. Admettons comme évident que le fuseau C peut être constitué par les triangles GAB et GA B'. On a :
fus A + fus B + fus C = 1/2 sphère -f 2 aire ABC .
D'où : aire ABC = (A + B + C) — -.
La surface d'un triangle sphérique a pour mesure Ve.rcès de l» somme de ses trois angles sur deux angles droits {excès sphérique).
Ainsi la surface de la sphère étant ir, la surface du triangle trirectangle (tel que serait AB"(]" si l'angle A était droit) est z ! 2. D'autre part, ses trois angles sont droits: l'excès sphérique est 3z ! 2 — 7: = z ','2. Le théorème est vérifié.
Il résulte de là (jue la somme des angles d'un triangle sphériqut est toujours supérieure à x. Pour que l'excès sphérique soit nul, i faut que l'aire soit elle-même nulle : le triangle est infiniment peti et assimilable à un triangle plan (|^ 70, Remarque II).
4"". — Aire d'un polygone spiiérioue de n côtés.
Il suffit de le décomposer en triangles sphériques pour voir qu son aire S est égale à la somme I de ses angles intérieurs diminué de (/i — 2)r.
D'où résulte que la somme des angles intérieurs dun polygon sphérique est toujours supérieure à celle d'un polygone plan du mém •
APPLICATIONS DIJS LIGNES TIUGONOMÉTRIQUES
nombre de côtés. Elle ne lui devient égale que lorsque Taire du polygone sphérique s'annule ; il est alors assimilable à un polygone plan, tracé sur le plan tangent à la sphère.
Evaluons la somme E des angles extérieurs du polygone.
On a : S = 1 — (/i — 2)77, E + l^n-; d'où: E=r27: — S.
La somme des angles extérieurs d'un polygone sphérique est égale à Vexcès de 2t. sur l'aire de ce polygone. Elle ne devient égale à 2x que si Taire s'annule : le polygone est assimilable à un polygone plan tracé sur le plan tangent à la sphère.
Elle est nulle pour S = 27:; le polygone est un grand cercle.
Remarque. Si les polygones sont tracés sur une sphère de* rayon R, on obtient leurs aires en multipliant par R^ les expressions précédentes.
