Pente d'une courbe. Angle d'une droite avec les

axes.

/". - Nous avons défini la ponte de la courbe ADM au'point \ par le ({uolient dif \ J.r, (|ui est la limite du rapport DK ; Al^î^

C cfa-

Fig. .8.

quan'd I) se rapproche indéfiniment de A; simultanéiHent les points C et D tendent à se confondre.

On a donc :

dy A H

APPLICATIONS DES LIGXES TBIGONOMÉTRIQUES 103

La i/)e/i/e mesure- donc la tangente de Ta ngle a que fait la tangente à la courbe avec Taxe des x (a n'est déterminé qu'à ^ près). On voit la nécessité de supposer la même échelle pour les deux coordonnées : l'équation (1) n'est exacte que dans cette hypothèse.

â"". — Mesurons les arcs sur la courbe à partir d'une origine quelconque Q; posons L}\=s. , Puisque les points B et G finissent par se confondre, le triangle curviligne ADE tend vers un triangle rectiligne rectangle; on a donc :

limAD2r=limAC* = (/.9^ ds'^ = dx'^ + dy\ (2)

Est-il besoin de dire que cette équation n'est exacte qu'à la limite? Si l'on considère les quantités ds, dx, dy , non plus comme des infiniment petits (c'est-à-dire des quantités qui tendent vers 0),'mais comme des quantités petites, même très petites, la relation (2) n'est qu'approchée. Elle l'est d'autant plus que les quantités sont plus petites.

A la limite , on a exactement (pour un choix convenable de l'angle :>-) :

dx . dii .

jEnjprenant le quotient et en additionnant les carrés, on retro^uve bien les relations (1) et (2).

S'\ — Droite.

Tout ceci est applicable à la droite :

ax-\-by-\-c=z{). (4)

On a: -^ = -^=tga.

L'équation (4) peut donc prendre la forme :

a^sina — ycosy.=:d. (3)

Identifions (4) et (o); il vient :

-Ksm a = , , -1- cos a

V/a^-f-i^- ' ~ \la^ + t'

Considérons la droite NA normale à GA. Elle fait avec Ox un angle j3 tel qu'on ait :

3 = a + ^, sin.pr^.cosx, cosfi = — sma.

L'équation de NA a donc la forme :

X sin [ù — y cos g = e, ou encore : a; cos x -[- ?/ sin a — •«.

Nous avons maintenant une interprétation du § 24. Dire que pour deux droites normales, les pentes/) et /)' sont liées par la relation pp' = — 1, revient à dire qu'on a :

tgxtg.S=--1, si ^,;5=r=a + -f.

Iftl COUns DE MA THÉ M A TIQ ['ES GÉNÉRALES