Division harmonique; propriété de la polaire

1\ — On dit que quatre points B, P, B', Q, forment une division harmonique quand le rapport des distances de B aux points P et Q est égal au rapport des distances de B' aux mêmes points. Tenant compte des signes, on a :

BP FF

Si Ton projette la droite sur une droite quelconque, par exemple sur Tun des axes de coordonnées, cette relation subsiste entre les projections des points B, P, B', Q.

i^". — Soit a?, ?/, les coordonnées de B; ;, r^, les coordonnées de B'. Les coordonnées d'un point quelconque de la droite BB' peuvent se mettre sous la forme :

a est un nombre quelconque variable de — c/r à -j-oc.

Pour 7.T=iO, on trouve le point B; pour a^O, on trouve un point P compris entre B et B'; enfin, pour a. positif et très grand, on trouve le point B'. xVux valeurs de y. comprises entre 0 et — 1 , correspondent les points situés à droite du point B; pour a = — 1, on passe de Tôc à droite de B , à Tinfini à gauche de B' ; quand a décroît de — 1 à — oc, on revient au point B'.

3'\ — Quatre points B, B', P, Q, forment une division harmonique, si leurs coordonnées sont :