Cycloïdes, trochoïdes

/°. — La cycloïde est la courbe engendrée par un point invariablement lié à un cercle qui roule sur une droite.

On conserve généralement le nom de cycloïde à la courbe décrite

par un point du cercle. Si le point est dans le cercle, à une distance o = CP du centre inférieure au rayon R (§'<R), la cycloïde est dite raccourcie ^' elle est allongée si le point est hors du cercle

La figure 78 montre les trois espèces de courbes : la cycloïde pos-

Fig. 78.

sède un point de rebroussement ; la cycloïde allongée a un point double et pas d'inflexion; la cycloïde raccourcie a un point d'inflexion. Déterminons les équations de ces courbes.

Soit : . ?=:R(o^ r,=iR,

les coordonnées du centre G du cercle. Il est censé se mouvoir uniformément parallèlement à Ox. Quand il arrive en S, le cercle a roulé d'un angle 0 tel que le point U coïncide avec T. On a :

arcÔlJ = OT, RO = Rg)/, 0 = w/.

Le point lié invariablement au cercle est venu en Q : l'angle QST est égal à 0, puisque la figure QST est la figure PGU déplacée. Les coordonnées de Q sont donc :

a- = Re — Ssinô, y = R — ccos6.

La cycloïde proprement dite a pour équation :

a? = R(e — sin h), y —■ R(l — cos 0).

Tangente a la cycloïde. Centre lnstantané de rotation.

Quand une courbe roule sans glisser sur une autre courbe, il se produit comme une rotation élémentaire autour du point de contact; celui-ci joue momentanément le rôle de point fixe : on l'appelle pour cette raison centre instantané de rotation (§ 139).

Les arcs infiniment petits décrits simultanément par les divers points de la figure mobile, peuvent être assimilés à des arcs de cercle

CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES

dont le point de contact est le centre. On obtient donc les normales à ces arcs en les Joignant au point de contact.

En particulier, la normale à la cycloïde au point Q est la droite TQ (non tracée sur la fig-ure 78, tracée sur la figure 79).