Propriétés particulières de la cycloïde
/'\ — Evaluons le rayon de courbure de la cycloïde. Posons cl)^=:0, pour simplifier Técriture. On a :
dx
=:R(i— cosO^
dy dx
\j2Ry
dx^
^ = 2^2Ry .
Or on a (fig. 79) :
TQ' rrr R2 sin^j + ly 2 ==: 2Rîy — z/=^ + î/2 = 2R2/ .
Donc le rayon de courbure au point Q vaut deux fois la distance TQ du point qui décrit la cycloïde, au point de tangence du cercle générateur.
;!?". — Il résulte immédiatement de là que la développée d'une cycloïde est une cycloïde égale.
Le point V appartient à la cycloïde OV engendrée par un point du cercle dont le centre décrit G'S' et qui roule sur la droite O'T'.
En effet, le point V est en 0 au début de l'opération; le point Q' diamétralement opposé est en 0'.
On a :
arc QT = OT = arc QT = O'T'.
Le point Q' décrit une cycloïde identique à OQ ; il en est naturellement de même du point V diamétralement opposé, au transport près de la longueur tuR parallèlement à 0.r.
S'\ - On déduit de ce résultat la longueur d'un arc de cycloïde.
La normale à la cycloïde OQ enveloppe la cycloïde OV.
Donc : arc VÔ = VQ z= 2 TQ .
En particulier, la cycloïde entière est longue de quatre fois le diamètre du cercle générateur.
