Épicycloïdes ; hypocycloïdes
Un cercle de rayon R roule sur un cercle de rayon /■. On demande
Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse. 9
l'équation de la trajectoire d'un point P situé à une distance S=:GP,
du centre du cercle mobile et entraîné par son mouvement (fig-. 80).
Nous pouvons prendre pour variable l'un des deux angles a ou 0.
Fig SO.
Ils sont reliés par Téquation qui exprime le roulement sans g^lissement : /a- HO.
Les coordonnées du point C sont :
./:' =z[r-\- U) sin a, i/' =:{r-\- R) cos a.
Les coordonnées du point P' sont :
x = x' — G sin [r — (0 -\-x)\=x' — 3 sin (e -|- a), //=//' + 0 cos [-: (e -f «)]=;/' — 0 cos (0 + x).
X z=(r-\- H) sm a — s sm — rr— a,
y = (r -\- R) cos 7. — ^cos — r» — a.
L'épicycloïde est raccourcie quand c < R ; la figure 80 en représente une portion.
Elle est dllotKjée et bouclée quand c >> R.
Les épicycloïdes sont formées, quand nir=nRy où m et /i sont entiers. S'ils sont premiers entre eux, la courbe est obtenue après n tours du cercle roulant, accomplissant m révolutions autour du cercle fixe.
/". — Pour retrouver les formules des |cycloïdes, explicitons l'angle 6.
x = [r-\-R)sm 8 sm — -^— e,
2/ =: (r -j- R) ces S cos — ■ 6.
CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES 131
Faisons r:=(^. Nous pouvons remplacer dans les premiers termes du second membre le sinus par l'arc et le cosinus par l'unité ' dans les seconds termes du second membre, le coefficient de 6 devient Tunité. Il reste :
a? = (r -f- R) -y- — G sin 0 = RO — c sin 6,
y — r = R — 0 cos 6 .
Ce sont les équations du § 100.
^". — Hypocycloïdes.
L'épicycloïde est intérieure quand le cercle de rayon R roule à l'intérieur du cercle de rayon r. On vérifiera immédiatement que son équation est obtenue en changeant R en — R :
X = (r — R) sin a — o sin — n a,
?/==(r — R) cosa-f-ocos îT^ ^•
Les épicycloïdes intérieures sont aussi connues sous le nom d ' hyp ocyclo ïdes .
4". — Engrenage de Lahire.
Si le cercle qui roule admet pour diamètre le rayon du cercle immobile (r = 2R), un point du cercle mobile décrit un diamètre du cercle immobile. On a :
3 = R, a==0, î/==2Rc6sa.
Un point quelconque du plan mobile décrit l'ellipse :
Nous reviendrons plus longuement sur ce résultat (§§ 140 et 146). 5°. — Hypocycloïde a quatke rebroussements : astroïde. Si le cercle qui roule admet pour diamètre la moitié du rayon du cercle immobile (r=r4R), un point du cercle mobile (o=R) décrit une courbe connue sous le nom à' hypocycloïde à quatre rebroussements (§ 131, %. 101). Elle a pour équations (§ 226) : ic = 3R sin a — R sin Sx = 4R sin=^ a, ?/ = 3R cos a -f- R cos 3a. = 4R cos^ a. Éliminant a entre les deux équations précédentes, on trouve :
Remarque. La condition mr = riR, où m et /z sont entiers, conduit à des hypocycloïdes fermées possédant n rebroussements. Pour m = l,ri==:2, rhypocycloïde se réduit à un diamètre (voir cidessus 4"). Pour m=rl,/i=:3, on aune étoile à trois branches. Pour m==l, Ai=:4, la courbe (voir 5") porte le nom à' astroïde. Et ainsi de suite.
