CHAPITRE VI

Réduction de l'équation fjénéralo du second degré.

103. Courbes du second degré possédant un centre de symétrie ou privées de centre.

/". - Soit ri'(|uati()n ^^énôrale du second degré en x et ;/ :

m.r« -(- ny* + 2pxy -f 2qx -f 2«ï/ -f- / = 0 . (1 )

Transportons l'origine au point x=za, .V = ^- Conservons les mômes notations pour désigner les nouvelles coordonnées. L'opération revient à remplacer partout .r par x-f-a, y par y-\-h. En elîet, le nouvel X est plus petit que l'ancien de la quantité a, le nouvel y plus petit que l'ancien de la quantité h. Pour que l'équation (1) subsiste, il faut donc augmenter le nouvel x de a, le nouvel ?/ de Jj (^ 34, ^) :

Développons (2). Nous vérifions immédiatement que les coefficients des termes du second degré sont restés les mêmes. L'équation devient :

mx« + ny' + 2pxy + 2q'x + 2s' y + /' == 0 ; (3)

en posant : q' = mn -\- pb -\- q , s = nb -\- P'i -\- s, i' — ,„a« + nb^ + 2pab + 2qa -{-2sb-\-t.

9''. — Choisissons n et b de manière que les termes du premier degré disparaissent :

q' = ma -{- pb -\- q =z 0 ,

s' = pa -\- nb -\- s = 0 .

. nq—ps ms — pq

D ou : a = —7 , b=z ^ ^--^ .

p' — mn ^ /)' — mn

Par suite, les courbes du second degré forment deux groupes.

Pour les unes {ellipses, hyperboles), la solution existe; on trouve pour a et b des valeurs finies. Les courbes sont caractérisées par la condition : p- — mn^O.

Pour les autres {paraboles), on a : p'- — mn = 0. Le point de coordonnées a, j6, est à l'infini.

J°. — Supposons donc l'opération possible et effectuée ; on a :

mx^ -j- ny^ -\- 2pxy -)- /' =r 0 . (4)

U origine est un centre de symétrie. En effet, l'équation, satisfaite pour un système de coordonnées -{-^,-\-y, l'est encore pour le système — X, — y. Les points P, P', se groupent deux par deux sur des droites POP' passant par l'origine, départ et d'autre et à égale distance de cette origine : ce qui définit l'origine comme centre de symétrie {ûg. Si),

Les courbes du premier groupe {ellipses y hyperboles) ont donc un centre à distance finie; les paraboles ont, si l'on veut, un centre à l'infini.

Fig. 84.