Séparation des ellipses et des hyperboles

La séparation s'effectue en regardant si la courbe est limitée en tous sens {ellipses), ou si elle a des points à l'infini {hyperboles).

Pour que la courbe ait des points à l'infini, il faut qu'on puisse trouver des solutions de l'équation (4) qui correspondent à des valeurs simultanées très grandes de a? et de y.

Considérons un de ces systèmes qui définit un point P. Joignons ce point P à l'origine 0 ; soit a l'angle que fait avec 0:p la droite OP.

On a

^-tga,

m -^ n ig^ OL -{-2p ig a -{-

Mais on peut négliger le dernier terme devant les trois premiers, puisque par hypothèse iP est très grand.

Donc la courbe aura des points à l'infini (hyperboles), si l'équation du second degré en tga :

m + 2/)tga + /itg^a = 0, (3)

a ses racines réelles. C'est dire qu'on a : p- — mn>>0.

La courbe est limitée en tous sens [ellipses), si les racines de Téquation (5) sont imaginaires : p- — mn<^0.

Goroi;laire.

Si la courbe est centrée et a des points à Tiniini, elle se confond à rinfini avec deux droites qui lui sont asi/rnpiotes (§ 35). Autrement dit, ses points à l'infini sont sur deux droites qui passent par le centre par raison de symétrie; leurs pentes sont les racines tgaj, tgaa» de l'équation (5). Au surplus, la courbe est rencontrée à l'infini par toutes les parallèles à ses asymptotes (§ 2o, J?o).

Remarque 1.

Dans le cas de la parabole (courbe non centrée), on a :

p' — nin =iO.

Opérant sur l'équation ( ! ) comme nous l'avons fait sur l'équation (4), nous obtenons une équation (?)) qui a ses racines réelles et égales. La parabole a donc des points à l'infini qui sont dans une directiom unif/ue. On l'appelle direction de l'axe de In parabole.

Remarque IL

Supposons qu'en ramenant l'équation générale à la forme (4), on trouve t' = 0. Les ellipses se réduisent à un point, Torigine, qui est centre de symétrie : .r=i), ;/ = 0. Les hyperboles se réduisent à deux droites non confondues passant par l'origine.

105. Changement des axes de coordonnées, Torigine restant le centre de symétrie.

/". — Cherchons comment se transforme l'équation :

nu'' -\- ;„/2 | 2pxy + /' == 0, (4)

quand on iHîmplace les axes («up^osés rectangulaires) par d'autres axes rectangulaires faisant avec les premiers l'ang-le H (S 78). Il faut effectuer dans l'équation (4) la substitution linéaire :

x=.x' cos 0 — y' sin 0,

y =x sin 6 -[-y' cos Ô.

On trouve : ni x- -^ n y'- -\- %p x'y' ~\- /' = 0 ;

ni = m cos- 0 -[- n sin- 6 -j- ^P sin 6 cos 0,

n' =z m sin- (i-\- n cos* 0 — '2p sin 6 cos 0,

p' = — (m — n) sin 0 cos 0 -{-p{cos* f) — sin- 6) .

On vérifiera immédiatement les r^ations :

m' -\-n' = m-{- n, p^ — m'n'=:p- — mn.

Ces quantités sont des invariants ; on exprime par là quelles ne sont pas modifiées par les changements d'axes. Nous étions déjà certains que le signe de la seconde ne pouvait changer, puisqu'il définit la nature de la courbe.

SECTIONS CONIQUES I35

*?*". — Écrivons maintenant la condition p'=zO. On a: 2 sin 0 cos 0 = sin 2ô, cos- 6 — sin^ 0 = cos 2Ô ;

D'où: y=e, tg2e=-^. (6)

Or, la tang-ente pouvant prendre toutes les valeurs de — cx^ à -|-cc, nous sommes assurés de trouver un angle 20, par suite un angle 26 + '^5 q^i satisfont à Téquation (G). Nous déterminons donc deux angles 6 et 6-^7: ! 2 qui annulent p' . Autrement dit, il existe deux systèmes d'axes rectangulaires , eux-mêmes rectangulaires entre eux, pour lesquels l'équation générale se ramène à la forme :

Si alors ni et ri sont de même signe, la courbe est une ellipse ; s'ils ont des signes contraires, c'est une hyperbole.

Remarquons que deux systèmes d'axes rectangulaires rectangulaires entre eux ne définissent que deux droites rectangulaires ; l'axe Ox de l'un des systèmes se confond avec l'axe 0?/ de l'autre.