Réduction dans le cas des paraboles

Dans le cas des paraboles, les termes du second degré en x ei y constituent un carré parfait (§ 104, rem. I). Mettons l'équation sous la forme :

( A.'r + Bî/)^- -U 2qx -\-2sy -^t = {).

Faisons le changement d'axes. Le terme entre parenthèses devient :

x\A. cos 0 + B sin ô) — î/'(A sin 0 — B cos 6).

Par un choix convenable de l'angle 0, il est possible d'annuler le coefficient de x ou celui de y' . On a les conditions :

tgo,== — -g, tg62= ;^; tg0,tg62 = — 1.

Nous définissons ainsi deux systèmes d'axes rectangulaires, rectangulaires entre eux.

On peut donc ramener l'équation des paraboles arbitrairement à l'une des formes :

nix^ + 2q'x + 2s' y + ^' == 0 , ny^-^ 2q'x -f 2s' y + ^ = 0".

Rien n'empêche maintenant de transporter l'origine en un point de coordonnées a et b. Nous profiterons des deux ai^bitraires pour ramener l'équation à l'une des formes :

Ellipse.