Équation et propriétés générales
Conformément aux paraf^raphes précédents, l'ellipse est une courbe dont, par un choix convenable de l'orig^ine des coordonnées et de la
0 ^ anomalie vrair, u — anomalie excentrique.
ÔK = a, (JB = 6, ÔF ~c\
e — exccntiicité == ÔF' : ÔX.
Fig. 82.
direction des axes (supposés ici rectangulaires), l'équation prend 1; forme :
Nous poserons a >> A ; a est le demi (jrand axe 0 A (fig. 82) b le demi petit axe OB. Nous écrirons :
e est l'excentricité.
Les points F et F' qui sont sur le grand axe à une distance -:^c dt l'origine, sont les foi/ers.
La courbe est symétrique par rapport à Oj-, puisque, pour la mémo valeur de x, l'équation est satisfaite pour deux valeurs égales et de signes contraires de y. La courbe est symétrique par rapport à O7/. puisque, pour la même valeur de ?/, l'équation est satisfaite pour deux valeurs égales et de signes contraires de x. Le point 0 est un centre
SECTIONS CONIQUES
de symétrie, puisque l'équation, satisfaite pour les coordonnées x, y, Test aussi pour les coordonnées — x, — y.
On peut considérer Tellipse comme la projection d'un cercle de rayon a, ayant en commun avec l'ellipse les points A et A' extrémités du grand axe , et dont le plan II' fait avec le plan FI de l'ellipse un angle dont le cosinus est Jb ; a.
Les droites du plan 11' parallèles à Ox se projettent en vraie grandeur sur le plan II. Les droites du plan îV parallèles à Oy ont sur n des projections qui leur sont plus petites dans le rapport b ; a.
La figure 82 montre le cercle supposé rabattu sur le plan 11.
Un point p du cercle est défini par l'angle u, qu'on appelle anomalie excentrique. Ses coordonnées sont :
a cos u.
a sm u,
Après projection sur le plan de l'ellipse, on a pour le point P correspondant à p :
ic = acosj[z, y = [asinu) — = hs\nu.
Le système : x = acosu, ?/=/>sin«, (II)
définit l'ellipse au moyen de la variable auxiliaire u. A chaque valeur de cette variable correspond un système de valeurs de a; et de y^ c'est-à-dire un point de l'ellipse. Eliminant u, on retrouve l'équation (I).
