PERMUTATIONS

18. Définition, m lettres différentes a,b^c,...k,l étant données, si on les écrit les unes à côté des autres, mais dans des ordres différents, nous dirons que nous avons formé ainsi des permutations des m lettres proposées. Nous désignons le nombre de ces permutations par Pm. De cette définition il résulte que

et par conséquent

Pm — Am,

Pmi= 1.2.3.. ,m.

Mais nous établirons directement cette formule, sans la considérer comme une conséquence de la formule des arrangements. Imaginons à cet effet (m— i) lettres a,byC,,..k; puis toutes les permutations Pm-i de ces lettres, et Vune d'elles a, en particulier. A la gauche et à la droite de a, et dans tous les intervalles qui existent entre les lettres qui constituent ce terme, plaçons la m"« lettre l; nous formerons ainsi m termes appartenant à la famille Pm, et Ton reconnaît sans difficulté que tous les termes de ce groupe Pw ont été ainsi formés^ sans exception et sans répétition. On a donc

Pm =fnPm-.i, par suite

Pm-l Zi {m — l) Pm-2,

d'ailleurs,

on a donc enfin

ANALYSE COMBîNATOIRE 17

Pi=i;

X m .^^ l.^.«/. .•• iit.

On rencontre, dans un très grand nombre de formules de l'Analyse, le produit des m premiers nombres entiers consécutifs. Ce produit est désigné par Texpression factoriel m; il s'écrit symboliquement m! Avec cette notation abrégée et symboliqpie, la formule précédente s'écrit

(4) Pm = m!