COMBINAISONS

!•. Définition, — m lettres différentes étant données, si Ton considère un arrangement de ces lettres prises p à p, sans se préoccuper de Tordre dans lequel elles sont écrites, on obtient une combinaison. — Deux combinaisons diffèrent donc nécessairement par la nature des lettres, et le nombre des combinaisons qu'on peut faire avec m lettres groupées p 5 p sera désigné par CJ^. On le représente aussi quelquefois par

TiiÉoBÈME. Entre les nombres AJ^, CJ,, Pp , on a la relation

^m ~ ^^m' Pp-

Imaginons, écrites dans un tableau A, toutes les combinaisons du groupe C^; prenons un terme a de ce tableau,

terme qui renferme p lettres que nous permuterons de toutes les feçons possibles. Nous obtiendrons ainsi, avec ce terme a, un nombre Pp d'arrangements, que nous placerons dans un second tableau B. Ayant opéré ainsi pour tous les termes de A, il est facile de reconnaître que B renferme, sans exception et sans répétition, tous les termes du groupe A^.

«" Le même terme n'a pas été formé deux fois. Car, si Ton imagine deux termes g, g' du tableau B, ou ils proviennent

de deux termes a, a' du tableau A, et alors ils diffèrent par la nature des lettres ; ou ils proviennent du même terme a, mais alors ils diffèrent non par la nature des lettres, mais par Tordre de ces lettres.

20 Un tei^me qtielconqne du groupe AJ, a été ainsi formé.

Imaginons, en effet, un terme 2 du groupe A^, abstraction

faite de Tordre de ses lettres ; il représente une combinaison des m lettres proposées prisesp à p. et, par suite, ilfigure quelque part dans A ; encore une fois, abstraction faite de V ordre de ses lettres. Ce terme ayant été considéré à un certain moment et ses lettres ayant été permutées de toutes les façons possibles, z figure donc quelque part dans le tableau B.

Ceci établi, puisque chaque terme de A donne Vp termes dans B, on a bien

\p) A„, ^: C„Pp.

Des formules précédemment trouvées

AJi zr yn (m — i) . . . [m — p-h 1), Pp zz 1.2... p\

et de la relation précédente on déduit la formule des combinaisons