ARRANGEMENTS

1&. Définition, m lettres différentes étant données, a, b,c,,..l, si Ton prend p de ces lettres, p <m, et si, dans un certain ordre, on écrit ces lettres les unes à la suite des autres, nous dirons que ce résultat est un des arrangements des m lettres proposées prises pkp. Ainsi deux arrangements diffèrent, soit par la nature des lettres, soit seulement par Tordre dans lequel elles sont écrites, soit enfin par la nature et par Tordre des lettres. Avec m lettres prises pkp, on peut former plusieurs arrangements, dont le nombre sera représenté par

Afii"

IG. Théorème. Entre les deux nombres A^, A^\ il existe une loi de récurrence, expiHméepar la relation

Aî:,zi(m~i?-hi)ASr*.

Démontrons d'abord que Ton peut former le groupe A^*. Prenons m lettres a^ b^ c,... , l. Ces lettres, prises isolément, constituent des arrangements de m lettres prises une à une,

c'est-à-dire le nombre A^ qui, on peut le remarquer, est égal

à m. Nous pouvons donc supposer que le groupe AÎT* a été

formé. 11 nous reste à montrer comment avec ce groupe A^T*

on peut former le groupe A^. Nous chercherons aussi la relation qui existe entre ces nombres.

ANALYSE GOMBINATOIRE 13

Imaginons donc tous les arrangements AZ'\ et Tua d'entre eux a, en particulier. Il y a {p — i) lettres qui composent a, et («i— p+ i) par conséquent qui n'en font pas partie. Prenons successivement ces (m — p+ 1) lettres et plaçons-les à la suite de a, nous aurons de la sorte constitué, avec ce terme, (m — /> + 1) termes nouveaux, qui appartiennent néces •

sairement au groupe A^. On peut d'ailleurs remarquer : i"" que le même terme n'a pas été formé deux fois ; a» que tous les termes du groupe ⣠ont été ainsi constitués.

1* Deux arrangements obtentis par la loi précédente sont différents. En effet, ces arrangements proviennent, ou du

même terme de A^S et alors la dernière lettre n'est pas la même : ou de deux termes distincts ; alors ils diffèrent par Tarrangement des (p — i) premières lettres.

2* Les termes de Aj, ont été obtenus sans exception. Imaginons, en effet, l'un de ces termes 0 ; ayant fait abstraction de la dernière lettre, nous obtiendrons un des termes du groupe A;r*« Celui-ci a été considéré tout à Tlieure, et nous avons placé à sa droite les (m — p+ i) lettres qui n'entraient pas dans sa composition ; 0 a donc été formé.

On peut maintenant conclure que, chaque terme du groupe

AJp' donnant (m — jo+ 1) termes dans le groupe Aj^, on a

(i) Aî;z=(m-p+i)Ar- C'est la loi de récurrence qui lie entre eux les nombres