Impuissance de la rénale de THépital» il y a

des cas assez nombreux, où la règle de l'Hôpital ne permet pas de résoudre Tindétermination proposée. On a pu remarquer, en effet, que cette règle ne donnait pas la vraie valeur de Texpression proposée; qu'elle indiquait seulement que cette quantité inconnue était égale au quotient des dérivées. Si ce quotient est lui-même une quantité indéterminée, la règle de l'Hôpital substitue seulement, à la difficulté proposée, une difficulté de même genre. Dans la plupart des cas, en appliquant un certain nombre de fois la règle de l'Hôpital, on trouve la vraie valeur cherchée; dans d^autres cas, au contraire, la difficulté qu'on veut vaincre sq perpétue indéfiniment, et c'est là le cas d'impuissance que nous voulions signaler.

Prenons d'abord l'exemple suivant

j;cosa; — smx'-f- — X* -h ic* sin X '

et cherchons la valeur de ^, pour a? = o. En appliquant quatre fois la règle de THôpital on trouve que la valeur de y est égale

à — . Ainsi, la règle s'applique dans cet exemple ; elle exige,

il est vrai, un certain effort de calcul, mais enfin elle résout l'indétermination.

Soit maintenant la fonction

et soit proposé de trouver la valeur de y, qui correspond à a; = o. On doit ici traiter une indéterminée de la forme -• L'ap-

plication de la règle de l'Hôpital donne, pour la valeur cherchée, celle de la fonction z

~ xi

Z =: — — ., (pour X =1 o).

Si Ton compare z et y^ on voit nettement que la règle de l'Hôpital a substitué simplement, à la difficulté proposée, une difficulté identique ; et Ton pourrait poursuivre indéfiniment l'application de cette règle, sans jamais aboutir.

340. RésoluÉion directe des Indétermlaées. Nous ferons remarquer enfin que les indéterminées peuvent, dans la plupart des cas, se résoudre par des considérations particulières, et sans avoir recours à la règle de THôpital. Nous avons^ d'ailleurs, donné déjà des exemples d'expressions indéterminées résolues par des méthodes directes (g 241, 264, 33o).

Pour montrer une application nouvelle de cette méthode directe, prenons, précisément, l'exemple devant lequel nous avons vu, tout à Theure, échouer la règle de L'Hôpital ; et cherchons, pour a? ^i 0, la vraie valeur de

Posons xzz—.; nous avons, après ce changement de variable, à déterminer la vraie valeur de

pour a; — oc.

On voit alors, sans difficulté (Lee. 18; exe. 1) que la Ihnite de 1/ est égale à zéro.

368 VINGT-aNQUIÈME LEÇON