RESULTAT

yo-7

yo^iT

Ou peut résoudre un certuiu uombre de ces iadétermiaèes en utilisant les formules

2l^ '" ^ pi {P -\- l)\ p-h l ''

sin 07^0; — —

-re.

cosj;=i :-+-T7+ ••• + 7— :— /1 — ; — ^vi -ç

formules dans lesquelles ^ , 0 , b' ont des valeurs comprises entre o et i.

La première à été établie plus haut (§24?] ; les deux ajatres sont démontrées en trigonométrie et sout la conséquence du théorème exposé au paragraphe ^92.

LES FORMES QUADRATIQUES.

Sifll. Déflalilon. Une expression entière et homogène, du second degré, entre les lettres a?,^ x,, -Jo^^; constitue une

forme algébrique quadratique.

£n désignant ce polynôme par U^, Texpressionla plus générale de U„ est donnée par la formule

U„ = A,xf 4- Ajj^i 4- ... -4- A^j?); -}• 2B,^îJ?,ar, -h itii^BXtX^ +

Cette notation sous-entend que Ton a B a = ^a •

* a, p pt a

3459. Théorème» 7oi/^e /brme quadratique U^ (/e«

lettres x,, x,, ... or^ «5< décomposahle, identiquement, en

une somme algébrique de carrés de fonctions linéaires et homogènes ; le nombre de ces carrés étant égal, ou inférieur à n.

La méthode que nous allons indiquer pour effectuer la décomposition de U„, eu une somme de carrés, exige que l'on

distingue deux cas, suivant que tous les coefficients A, sont, ou ne sont pas nuls.

Supposons d'abord que A« soit différent de zéro. On a

(i) A,U„ s: Aïicî-h 2A,ir,P H-Q.

Dans cette formule P représente une forme linéaire et homo* gène ; Q une forme quadratique des lettres a;,, a*,, . .. a:„ , ou

de quelques-unes d^entre elles. L'identité (i) peut aussi s'écrire

Q — P* désignant encore une forme quadratique des lettres ic, . .. a?^, ou de quelques-unes d'entre elles.

L'identité (a) constitue une première remarque sur laquelle nous reviendrons tout à l'heure.

Imaginons maintenant que tous lescoefficients A soient nuls, dans la forme U„ ; alors l'un au moins des coefficients B sera différent de zéro. Supposons que ce coefficient, non nul^ soit celui du terme en XtX^^ et désignons-le par B. On a, en ordonnant convenablement la forme proposée,

(2) aBU„ := 4B«a:,x, -4- aBRx, + qBQx, -h S.

Dans cette identité R et Q désignent des fonctions linéaires et homogènes ; S, une forme quadratique des lettres or, ... x^,

ou de quelques-unes de ces lettres. L'égalité (a) peut s'écrire (3) îiBU„s: ;qBj7, -f-0)(aBa*, + R)-f-S - IIQ,

(S — RQ) désignant une fonction quadratique des lettres a;,... x,,, ou de quelques-unes d'entre elles.

D'ailleurs l'identité

mn:^

appliquée au produit

(2Bar,-hg)(2Bx, + R),

prouve que V^, dans le cas qui nous occupe, peut être mis identiquement sous la forme

(6) U„=:aPH-:iJ*-+.V;

I et J sont des fonctions linéaires et homogènes ; V désigne

LES FORMES QUADRATIQUES 373

une forme quadratique ne renfermant ni Tune ni Tautre des lettres x^ et x^.

Cette identité constitue la seconde remarque que nous voulions faire pour établir le théorème en question^ théorème qui

est d^ailleurs la conséquence immédiate des identités (a)el(6). En effets en appliquant à la forme proposée l\^, l'identité

{oi)y ou ridentité (6)^ suivant que cette forme possède ou non le carré d'une des variables ; on obtient un ou deux carrés, eti à leur suite^ une forme quadratique V, renfermant, au minimum, une ou deux variables de moins.

En opérant de même sur V, ces calculs successifs donnent * pour U„ une forme algébrique identique à la proposée et renfermant un nombre de carrés qui est, en général, égal au nombre des variables ; mais qui, dans tous les cas, ne lui est pas supérieur.

Nousdonneronsàcettemanièrededécomposeruneformequadra tique en carrés le nom de méthode par réduction. En désignant par e, 2, ... s^ des nombres qui peuvent être + «, ou — I;, on aura, en suivant cette méthode, l'identité

avec la condition

849. Forme irréductible. Il résulte de l'identité (A) qu^une forme quadratique est toujours décomposable en une somme de carrés. Le nombre de ces carrés est au moins égal à 1, mais il peut être aussi grand que Ton veut. Désignons, en effet, par W, la somme des carrés de p fonctions linéaires, homogènes et arbitraires des lettres Xi a;, . .. â?„ ; on a

Dans celte identité U„ — W est une fonction quadratique de ar, x^,,,x^\ et en la décomposant en une somme de carrés

on voit que U„ est mis^ identiquement, sous la forme de carrés

dont le nombre est supérieur kp ; par conséquent aussi grand que Ton veut, puisque p est arbitraire.

Ainsi une forme quadratique est susceptible d'être décomposée en une somme de carrés dont le nombre peut être aussi grand que Ton veut, sans pouvoir être inférieur à i. Parmi ces décompositions^ en nombre infini, on peut distinguer celles qui renfei^ment le plus petit nombre de carrés et, si nous considérons Tune de ces formes, nous dirons qu'elle est irréductible.

3^141. TlikéOTéwae. LorsqiCune forme quadratique}]^ est décomposée en une somme de cai^és de fonctions linéaireSy homogènes et indépendantes; la décomposition obtenue est in^éductible.

Supposons que Ton ait trouvé Tidentité

(i) U„=:£.Pr-f£.Pl-h...^-£,P;;,

p,, P„ ... Py^ étant des fonctions linéaires, homogènes et indépendantes,

P, s: axX^ -f- . . . -t- a^n

Nous voulons démontrer qu'on ne peut pas obtenir pour U„, une décomposition en une somme de carrés dont le nombre

soit moindre que h.

Posons, en effet,

h' étant plus petit que h. Le second membre de (i) représentant une forme irréductible, on a (§ 34^), h < n.

Puisque Ton a A'<A et ^ <w, on a donc h' <w. Soîl n— A' =:i; i désignant un nombre entier positif. Les identités (i) et (2) donnent

LES FORMES QUADRATIQUES 375

Nous poserons

Prenons les dérivées des deux membres de ridenlité (3), par rapport à rr, ; et soit

(4) V, = t,a\?, + ... + s.flÎP, ~ r,,b\\\, -t,,M:K on a

En prenant les dérivées partielles de (3) par rapport aux lettres a:,, or,, ... ar^, on a, de même

(5) V.so, VjSio, ... V„=:o.

Soient maintenant les équations

R, no R,no ... R^, — o;

elles constituent un système de h' équations linéaire^ et homogènes entre les inconnues x^, x^y ... x„. Puisqu'on suppose A'<n, ces équations admettent une infinité de solutions différentes de zéro {$ 107) et (n - h') variables peuvent être choisies arbitrairement. Ces solutions transportées dans les identités (5) donnent les résultats suivants :

s,«:p; -+-... -h 3/^jp;=:«.

Il va sans dire que P( désigne ce que devient P,, quand on

remplace les variables par la solution particulière proposée ; et ainsi des autres. Ces égalités peuvent avoir lieu dans deux

hypothèses que nous allons successivement examiner. Supposons d'abord que Ton ait

(7) P;r=o,PJ = o, ...P;zro;

dans ce cas on peut dire que les équations linéaires et homogènes

P, r=o, P, = 0, ... P^zro

admettent une infinité de solutions, n — A' variables étant arbitraires et comme Ton aw — A'>n-— A nous avons vu (§ lia ) que les formes P|, P„ ... P;^ n'étaient pas indépendantes. Cette conclusion est contraire à Thypothèse.

Supposons maintenant que les équations (7) ne soient pas toutes vérifiées et considérons le système suivant

6,a}X, 4- ... -h e^afX* = «

Ces équations admettent une solution différente de zéro, savoir

A, — r^, ... Ay^ — r^«

- Dans le tableau formé avec les coefficients des inconnues.

les déterminants d^ordre A sont tous égaux à zéro. Nous avons vu (S i i 2 ) qu'il y avait alors une relation linéaire entre les formes P,,P„... P^.

Ainsi, dans Tun comme dans l'autre des deux cas que nous avons successivement examinés, on arrive à celte conclusion que les formes P doivent être indépendantes ; conclusion qui est en contradiction avec Thypothèse.

LES FORMES QUADRATIQUES 377

Lorsqu'une forme quadratique U^ est décomposée en carrés, d'après Videntité

(i) U>,se,PÎ4-5,P?-l-...-+-eAPA.

si les fonctions P ne sont pas indépendantes, la forme trouvée n'est pas irréductible et Von peut décomposer U^ en une somme

de carrés, dont le nombre est moindre que A.

Puisqu*il y a dépendance entre les fonctions P, on a

les coefficients X, n'étant pas tous nuls. Supposons, par exemple, X^ diflërent de zéro : on tire de l'identité précédente

et ridentité (i) devient

Cette formule prouve que Ton peut considérer U„ comme une forme quadratique des lettres P|, P„ ... P^^^^ On pourra donc (§ 342), décomposer U„, par rapport aux lettres P, en une somme de (A — 1) carrés, tout au plus. Cette décoipposition étant eflectuée, on pourra remplacer P|, P,, .. P^^i P^^ leurs expressions en fonction des lettres a?,,^:,, ...o;^ et Ton obtiendra finalement pour ll„ une décomposition en carrés

dont le nombre est égal, ou inférieur à (A — i). La forme (1) n'est donc pas irréductible.

84M. Théorème. La méthode par réduction conduit à une forme irréductible.

En effets dans le cas où la forme possède les carrés de cer-

laines variables, celui de œ^ par exemple, la première fonction P4 renferme a:, et aucune des autres fonctions P ne contient cette lettre.

Ainsi P, est indépendante des autres fonctions P.

Si au contraire aucune lettre n'entre au carré dans la forme donnée, les deux premières fonctions P renferment, l'une et Tautre, les lettres a;, et a?, ; les autres fonctions P ne contiennent, au contraire, ni x^^ ni x^. Je dis qu'il n*y a pas de dépendance entre les fonctions P.

En effet d'après Tidenlité (3), {% XU), on a

P, =:B'ir,-+-a:j4-!?-il?

S'il existait une dépendance entre les fondions P, on aurait

A,P, -f-X^P, + ...so.

En égalant alors à zéro les coefficients des variables x^ el a:,, on trouverait

B(\-X,) = o ou .