Ba, ~ O

mais B n'est pas nul, on a donc

A, rz o et A, ir o.

Ainsi s'il y a une dépendance entre les fonctions P, elle ne peut exister que pour les fonctions P,, ... P^.

LES FORMES QUADRATIQUES 319

Ea poursuivant ce raisonnement on reconnaît qu'il ne peut j avoir de dépendance entre les formes linéaires et homogènes lui sont fournies par la méthode de réduction ; cette méthode x>nduit donc, avec certitude, à une forme irréductible.

3419. Méthode par sroapemeiito. Lorsqu'on donne me forme quadratique on peut souvent, en groupant convelablement les termes, apercevoir une décomposition de cette forme en carrés.

Par exemple, la forme U

peut s'écrire ainsi :

M importe de remarquer que cette manière d'opérer la décomposition de la forme quadratique peut conduire à une forme irréductible; mais qu'elle peut aussi, dans d'autres cas, donner me forme réductible.

Ainsi dans l'exemple précédent la forme trouvée est réducjble puisque la somme des trois fonctions linéaires est ideniquement nulle.

Prenons maintenant la forme quadratique V.

V 21 3a;* -f- -V -|- .32* — 2xy — 2xz — ^yz. La méthode par réduction conduit au résultat suivant

e second membre est une forme irréductible (% 340) et, par !onséquent, la décomposition de V ne peut pas être faite avec m nombre de carrés moindre que 3.

D'autre part, la méthode par groupements permet d'écrire tT, sous la forme

y:s:(x + y'-zy-h(y-hZ''Xy + (z-hX'-yy.

Le second membre représente encore une forme irréductiMe^ puisqu'il ne renferme que 3 carrés.

3418. Théorème. Pour qu'une forme quadratique de % variables puisse être décomposée en carrés dont le nombre sait %nféi*ieur à n, il est nécessaire et suffisant que le discriminant de la forme soit nul.

On appelle discriminant.d'une forme quadratique U„, le déterminant de n équations linéaires et homogènes obtenues en égalant à zéro les dérivées partielles de cette forme par rapport aux lettres x^,x^^ ... a?„. Nous désignerons ce discriminant par A„.

1*» Si U^ est décomposable en une somme de carrés , dont k

nombre est moindre que n, on a A„ zr o. Supposons, en effet, que Ton ait

Conservons les notations employées plus haut (§ 344), ^ représentons par Ujt la dérivée de U„ par rapport à x^* En prenant les dérivées des deux membres de Tidentité (t), soe^ cessivement par rapport aux variables, nous obtenons, lei identités suivantes :

-Ui=:e,aÎP,+...-h6AflÎPA

^iî;;=e,a;,p,-+-...-+-eA^X.

D'ailleurs les équations

constituent un système d'équations linéaires et homogènes : le nombre des inconnues étant supérieur à celui des équations, un pareil système admet une infinité de solutions différentes de zéro(§ 107).

LES FORMES QUADRATIQUES 3S1

imaginons Tune de ces solutions ; les idenlilés(î«) prouvent {ne cette solution vérifie les équations

(3) U:=:o... U:;=zo;

edélerminant de ces équations, c'est-à-dire le discriminant le la forme, est donc nul.

2® Si Ion a A, ~ o, te /b^'we U^^ est décomposable en une

fomme de can*ésy dont le nombre est inférieur à n. Nous savons delà que U„ peut être décomposé en une somme

ie carrés dont le nombre est tout au plus égal à n. On peut lonc poser

et nous allons montrer qu'il existe nécessairement une dépendance entre les fonctions P.

Prenons, comme tout à Theure, les dérivées partielles des deux membres, on a

^Ui=:£,aiP,-f-...-h2XP,.

Puisque le déterminant A„ des équations (3) est nul, on peut trouver des quantités X,, ... )^, qui ne sont pas toutes nulles, et qui vérifient Tidentité

On a donc

en posant

(4) X,Ui + ...^-A„UÏ=:o.

;/., = s.(aÎA, + ...-|-a*A„)

VINGT-SIXIÈMK LEÇON

Si les nombres ;j. ne sont pas tous nuls la relation (5) prou^ qu'il y a dépendance entre les fonctions?; si, au contraire, I< coefficients (x sont tous nuls on a

Ces relations ayant lieu pour des valeurs des coefScients qui ne sont pas toutes nulles, on peut écrire

âi ... a„

Le déterminant des formes linéaires, homogènes, P élaiil nul, ces fonctions ne sont pas indépendantes. • Ainsi il y a certainement dans Thypothèse A^ z= u, om dépendance entre les fondions ?«, ... P„ ; par suite la fomu trouvée est réductible (§ 345) .

34B. Théorème. Si Pon désigne par f^x^, x„ ... x^j,uià

forme quadratique à n variables, on a

Posons en etTet

/"(a;,, X,, ... a:J == A4XÎ4- A,a;ï + . .. + A^;-|- 2B,,ia?,r, -t

On en déduit, successivement,

LES FORMES QUADRATIQUES

Multiplions ces identités respectivement par X,, X„ ...X,, : le coefBcient de a;, dans le second membre est égal à

c'est-à-dire égal à - /^ . Cette remarque s'appliquant à toutes les variables on a donc l'identité

identité que nous nous proposions d'établir.

350. Théorème. Le discriminant est un déterminant symétrique.

£q effet le déterminant A, des équations

est

1^1,2^2 Bg 3 .. Bj „ ^i,3 ^«,3^3 ••• ^3,11

Ce déterminant, qu'on appelle aussi, quelquefois, leHessien de la forme quadratique, peut encore s'écrire de la manière suivante

f f fx

On a en effet

VlNGT-SlXlÉME LEÇON

et

3&t. Théorème. Pour qu'une forme quadratique, de n variablesy soit décomposable en une somme de h carrés indépendants, h étant plus petit que n, il est nécessaire que^ dans le discriminant de te forme i* tous les mineurs d'ordre (h-^-i) soient nuls; 2® qu'un mineur d'ordre h soit différent de zéro. Cette condition est d*ailleurs suffisante.

Soit U la forme quadratique proposée,

(1) UsA,xïH-...4-A„a?,^4-2B, 2iC,a;, + ... + aB„.,^„a;^,j;.,

Supposons que Ton ait

(2) u = £,Pî^£,Pi-h... + s,P^,

h étant plus petit que n. Des identités précédentes on déduit la suivante

Prenons successivement les dérivées des deux membres par rapport aux lettres a?„ x,, ... x^. Les notations, usitées

plus haut {$ 344), étant conservées, on a

ê,a;P, + ...+s^aJPAs:B,^„ar, + ... -hA^x,.

Le discriminant à, de la forme proposée, est

Si Ton considère les équations

• LES FORMES QUADRATIQUES U^

elles admettent une inanité de solutions, (n — h) variables étant arbitraires. En transportant ces solutions dans les identités (A), on voit que les équations

.'4) U' = o, . . U' zz o

admettent une infinité de solutions, {7i — h) variables étant arbitraires. On saitque, danscecas,(§io7) tous les déterminants d'ordre (h -h i), de A, sont nuls.

Je dis maintenant qu'il y a au moins un mineur, d'ordre h, différent de zéro. En effet si tous les mineurs d'ordre h étaient nuls dans A, les équations (4) seraient vérifiées par des valeurs des variables, (n — A — i) d'entre elles élan! arbitraires. Par suite les équations

admettraient une infinité de solutions, n — h~i variables étant arbitraires.

Dans ces conditions^ on reconnaît, par le raisonnement que nous avons donné plus haut (S 344), qu'il y a dépendance linéaire entre les fonctions F, conclusion qui est contradictoire avec l'hypothèse que nous avons faite.

Réelproquement, si totis les mineurs d'ordre {h-hi) du discriminant sont nuîSy mais non tous les mineurs d'ordre h, la forme est décomposable en une somme de h carrés indépendants.

En effet, la forme proposée est décomposable en une somme de carrés indépendants^ notamment par la méthode de réduction. Soit H le nombre de carrés ainsi obtenus. D'après la proposition directe que nous venons d'établir :

1^ Tous les déterminants mineurs d'ordre (H-f-i) sont nuls;

2^ Il y a au moins un déterminant d'ordre H qui n'est pas nul.

Puisqae^ d'autre part^ tous les mineurs d'ordre (A + i) sont nuls et qu'un mineur d'ordre H est différent de zéro, on a

(i) H<A-hi.

D'ailleurs, tous les mineurs d'ordre (H-f- 1) sont nuls; et un certain mineur d'ordre h est différent de zéro, on a donc

Les inégalités (i) et (a) ne peuvent être vérifiées par des valeurs entières de A et de H qu'en supposant A = H.

Cette démonstration établit, en même temps, le corollaire suivant :

3&9. Corollaire. Si une forme quadratique est décomposée en carrés indépendants, de deux façons différentes, fc nombre de ces carrés est le même, dans Vune et dans Tautn de ces deux décompositions.

On peut aller plus loin dans cette étude des propriétés des formes quadratiques et montrer, notamment, que dans deux décompositions en carrés indépendants^ les nombres des carrés précédés du signe +, et celui des carrés précédés du signe — , sont les mêmes. C'est la loi d'inertie des signes, loi due à M. Sylvester. Nous donnons la démonstration de ce théorème^ dans une note placée à la fin de ce livre.

8S3. Conditions pour qu'un polynéme homogène et do seeond deupré^ à trois variables^ soit un carré parfait.

Soit f{Xy y y z) la forme quadratique à trois variables, f^^y y y 2) = A^' -f- Ay -h AV -f- aBya; -\- iWzx -h 2B'a;i/. On en déduit

i /•; =: B'o; -I- By +k.''z.

Le discriminant de la forme est donc égal à A

^zz

Pour que / {x^ y^ z) soit un carré parfoit, il est nécessaire et suffisant que tous les mineurs du second ordre de ce déterminant soient nuls.

Ces conditions sont surabondantes, et rentrent les unes dans les autres. Nous avons, en effet, précédemment reconnu (§ 74), qu*en supposant A ;zf o, si les conditions

zr o

iz o

zi o

étaient vérifiées, f[Xy y, z) était un carré parfait.

EXEROIOES

fl . Réduire à une forme plus simple Vexpression U,

U s: {'kbcx — (icy — ahz)* + (scay — baz — bcx)* + {2abz — cbx — cay)*,

M . Démotitrer, à priori, que le discriminant de la forme U,

U s: - I (a; + y -h 2)' -h (a? + 2y -+- 2^)* + . . . + (x -f- ny -f- nz)' \

est nul. Vérifier que U est en effet la somme de deux catrés. On trouve

Us

x + ~-(y-hz)^ ^—-^-^iy + zy.

On considère la forme quadratique U,

2y-f-3z)'+(2a?4-3y4-4^)*+. ,-\^[nx+{n-hi)y-H^-h2)z]* n{7i — i)

+ ^zy;

démontrer que U est un carré parfait .

On peut résoudre cet exercice en posant

U^ =r >i (x* 4- y -h ^) -h fy -h 2z).

4. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que la fontu quadratique à trois variables se décompose en wi produit de deux facteurs, est que le discriminant soit nuL

On peut appliquer Tidentité

et 8 appuyer en:»uite sur les principes exposas dans cette lerou (^ '^'^). On peut aussi partir de Tidentiir*

en posant

U is: XT + i»y + V-

et Ton considère les dérivées partielles par rapport à x, ^ et c.