THÉORIE DES ÉQUATIONS
Nous nous proposons d'abord^ au début de la théorie des équations, d'établir que toute équation à coefficients réels, ou imaginaires, de la forme m -{- ni^ admet une racine a -f ^i, La démonstration que nous allons donner de ce théorème est due à M Walecki O.
SS4. Principe. Pour démontrer qu'une équation du de- • gré Pf à coefficients imaginaires, admet une racine a-f-pi, il suffit de reconnaître qu'une équation à coefficients réels du degré ^p, admet une racine de cette forme.
Soit f(x) — 0, réquation proposée. Par un groupement convenable on peut toujours l'écrire sous la forme,
(i) U + Vtizo,
U et V désignant deux polynômes entiers en a?, h coefficients réels, dont l'un, au moins, est du degré p.
i . Démonstration d'un théorème fondamental de la théorie des équations algébriques f par M. Walecki. (Ck)mptes rendus des séances de TAcadémie des Sciences, 19 mars 1883.)
Considérons maintenant Téquation du degré p, à coeffidents réels,
(a) U'-hV = o
(3) U'4-Vs:((T-|-Vt)(r-Vt).
Supposons que TéquaUon (a) admette une racine a-h^i ; il
faut, d'après l'identité (3), que a + ^i soit racine de Téquation (i), ou de réquation
(4) U— Vi = o.
Dans la première hypothèse le théorème se trouye établi, réquation (i) admet une racine ; si non, a-i-^i étant racine de réquation (4), (x^^i est racine de (i). Dans tous les cas U + Vi z: 0 admet une racine, si U* -h V* = o en admet une.
8S6. Eiemme. Lorsque dans une équation f{x) z:o, du degré «p, on remplace x par (y -h z) ; si l'on pose
le résultant des deux formes f^{z*)y f^{z*), résultant que Von obtient en éliminant t^ entre les deux équations
est du degré p (ap — i), en y.
Soit m = sp, le degré de l'équation proposée, on a,
et
/;(^}sny)-hir(y)+...4- " .,.r"'(y)>
On remarquera que les équations /*,(^)=o, f^{z*) =. o sont, par rapport à la lettre z*j de degrés respectifs, p et (p—O- Le résultant R (y) est, d'après une formule établie plus loin.
ny)
'il
ml
Les éléments de ce déterminant sont des polynômes entiers en y et le terme du degré le plus élevé de R s'obtiendra en prenant, dans chacun de ses éléments, le terme qui est du plus
haut degré. Posons
'-'Mi^ . • . • L#
