wï

^tny

Cy"-'

• • • ^my y

Je dis que 0 (y) ne renferme qu'un terme en y, et que ce terme est du degré p («p — 1).

39i VINGT-SEPTIÈME LEÇON

Considérons en effet les équations,

Si, entre ces deux équations nous éliminons t, le résultant est précisément 0 {y). Ces équations étant d'ailleurs homogènes en y et /, 0 [y) est une expression ne renfermant qu'un seul terme en y. D'autre part le terme diagonal de 6 (y) est

ou

m^y'^^'^\ ou encore

^nVyP^^P-'\

Ainsi e (y) est du degré p(iîp— i), et Ton peut poser

Il reste à vérifier que le coefficient numérique H, est différent de zéro. On a en effet

cl si Ton supposait H zz o, les deux équations

» ' ■ Il

auraient une racine commune /'. Ce nombre é' serait donc aussi une racine commune aux deux équations

TMÉORKME DE D'ALEMBERT 393

OU aux équations

ce qui est visiblement impossible.

3&G. Théorème de d'Alembert. Tonte équation aUjèl)rique a une racine.

Nous distinguerons deux cas, dans la démonstration qui suit, selon que le degré deTéquation proposée est pair, ou impair.

Premier eas. Le degré ;a de Véquation proposée F {x) zz o, est un nombre impair.

Si les coefficients du polynôme F (x-) sont réels, le théorème qui nous occupe est évident ; nous en donnons plus loin la raison (g 366).

Supposons donc qu'ils soient imaginaires et soit

Posons

En conservant la notation adoptée dans le paragraphe précédent, on a

f(x)^r,{:,^)-^zf,{z*).

/*, (2*) el /", (-*) sont des polynômes qui ne peuvent pas être, simultanément, identiquement nuls. Si Tun d'eux est identiquement nul, ce sera /", (^^), puisque /*, (^') a pour premier

terme knZ ^\ AoO?'** désignant le premier terme de f(x). Supposons donc d'abord /", (-j')s: o. L'équation f^{z*) zz o est

du degré ;a enX, nprès avoir posé ^'— X ; comme \i est impair, l'équation /", (X) zz o admet au moins une racine et l'on peut écrire

/'.(X)=:(X~Xo)A(X).

X— Xo est donc un diviseur, du second degré en x, du polynôme f{x) ; et le théorème de d'Alembert se trouve vérifié dans ce cas particulier.

39i VINGT-SEPTÎÈME LEÇON

Admettons maintenant que /^(V) ne soit pas identiquement nul. L'équation R (jy) iz o est du degré p (ap — i ) ; ce nombre étant impair, elle admet donc une racine. Les polynômes /, et /*, ont, alors, un diviseur commun et f(x) est décomposable en un produit de deux facteurs U„ V». Si Tun de ces facteurs est de degré impair, il admet un diviseur réel du premier degré et f{x) a, par suite, une racine réelle.

Supposons, au contraire, que U et V soient Fun et Taulre de degrés pairs : soit ^q le degré de U,, 25' celui de V, ; je dis que Pun des nombres, q ou q'y est impair. On a en effet,

^p ^^q + 2^', ou

p^q-hq\

p étant impair, l'un des nombres q, oxiq\ est nécessairement impair. Supposons, d'après cela, que le facteur U, soit du degré 27, q étant impair et inférieur à p. En raisonnant sur U,, comme nous l'avons fait sur f{x), on fera voir que U„ par conséquent f {x)j admet un diviseur réel du premier ou du second degré ; ou, s'il n'en est pas ainsi, qu'il a du moins un diviseur U„ qui est réel, et d'un degré «r, r étant un nombre impair et inférieur à q.

Ce dernier cas, celui où le diviseur n'est ni du premier, ni du second degré, ne peut d'ailleurs se présenter indéfiniment, les degrés des polynômes U^, L\, ... allant en décroissant. Il y a donc, en résumé, un diviseur de la forme (a? — a — gt), au polynôme U -h Vi, lorsque celui-ci est d'un degré impair.

Deuxième eas (*). Le degré jx, de Véqxiation f{x) — o est un nombre pair.

Considérons maintenant une équation à coefficients réels,

ou imaginaires, et dont le degré ^ soit égal à 2'/>,/> étant un nombre impair.

1. Cette dernière partie est extraite, textuellement, des Comptes rendus {Loc. cit.)

Pour abréger, je dirai que le nombre m est de parité i, et je vais démontrer que, si le théorème est établi pour toutes les équations dont le degré est de parité inférieure à », il est encore vrai pour une équation de parité i ; il sera, par suite, établi dans toute sa généralité, puisqu'il est vrai pour la parité zéro.

Soit /(a:) le premier nombre de l'équation ; posons,

xzzy-hZj et f(x) z= o (^) -f- ^^(2*).

Le résultant de © et de t|; est de degré ^^''^~" iz2'"*p(2*p - 1 )

par rapport à y ; il est donc de la parité (« — 1) et, par suite, s^annule pour une valeur réelle ou imaginaire de y. En remarquant que 9 est de parité (i — 1), on prouvera, comme plus haut, que f(x) admet un diviseur du premier ou du second degré à coefficients réels ou imaginaires, ou un diviseur U, de parité i, mais de degré inférieur à celui de^(a:) ; on prouvera également que U, admet un diviseur du premier ou du second degré, ou im diviseur U, de parité i et d'un degré inférieure celui de U,. En continuant ces opérations, il est clair, puisque le dernier cas ne peut se présenter indéfiniment, que l'on déterminera un diviseur def(x) du premier ou du second degré, et, comme Ton sait qu'une équation du second degré à coefficients imaginaires est décomposable en facteurs du premier degré, la proposition énoncée est entièrement démontrée.

8&9» Théorème* Une équation entière du degré m admet •toujours m racines de la forme (a 4- PO ; mais elle ne peut en admettre davantage sans être identiquement nulle.

Le théorème de d'Alembert prouve que l'équation f{x) =0 admet au moins une racine a^ + b^i. On a donc {% i45)

f{x) s: (a? — a, — b^i) U (^)- /; {x) désignant un polynôme dont le premier terme est Aoo::^'*. Considérons maintenant l'équation

396 V!N(iT-SEPTlfcME LEÇON

elle aussi, d'après le théorème de d*Alembert, admet une racine (a, H- 6,i) et Ton peut poser

fi (^) = (a: — fl, - àj)f^(x); et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à Tidenlilô

f^^ {x) = AoX H- <• H- (fi.

Cette idenlîlé peut s'écrire:

on posant.

Cette égalité donne pour a^^ el ô,,; des valeurs finies el bien déterminées, savoir

en supposant

On déduit, de ces identités successives, (A) f(x) s: Ao [X — a, ~- 6, 0 (x — «, ~ ^^,0 . , . (j; — a^ — i^^^O-

On voit ainsi quo/'(j;) — o, a m racines

D'ailleurs, elle ne peut en admettre davantage. En effet, soit a + gi une racine différente de celles-ci ; le premier membre de l'identité (A) étant nul et tous les facteurs

a: — a, — ^ji , a? — «, — bj, .». x — a,,^ — bj,

étant différents de zéro, quand on remplace x par «4-3*, i' faut supposer Ao := ". Ainsi, le premier coefficient d'une équa-

tioo du degré m qui admet plus de m racines est nul : appliquons cette remarque successivement aux équations

Nous voyons que tous les coefficients A sont nuls ; l'équalion proposée est donc identiquement nulle.

358. Définition des racines égales. L'identité (A) que nous venons d'élablir n'a pas toujours lieu avec des facteurs binômes différents ; certains d'entre eux peuvent être identiques et s'il arrive que la décomposition de f{x) en facteurs binômes linéaires fasse apparaîtrepfois, mais non (p-f-i)fois, le facteur {x — « — bi)y nous dirons que la racine [a -f- bi) est de multiplicité jo, dans Téquation donnée. C'est en adoptant ce langage que Ton peut dire qu'une équation du degré m admet toujours m racines, et cet énoncé sous-entend que certaines de ces racines peuvent être égales.

Si nous désignons par P, le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines simples ; par P, celui des facteurs qui correspondent aux racines doubles, chacune d'elles n'étant prise qu'une fois, etc.; on a, d'après ce que nous venons de voir,

(ij /•(^j=:AoP,(p.r(P,r...(p,y'.

3&9. Théorème. La fonction f(x) n'est décomposab le que (Vnne seule faron en facteurs linéaires. Posons en effet

(2) A(a.')=:BoQ,(y.r...

Les identités (i) et (2) donnent

(.3) AoP.(P,r-..=:BoOi(Q«r...

Dans le premier membre ou a le terme Ao-i;"* ; on doit donc

retrouver ce terme dans le second membre,el ceci prouve : i " que Ton a le même nombre de facteurs à droite et à gauche ; 2^ que Ao == Bo.

Considérons maintenant un facteur de P^ par exemple x^a — bi. Le premier membre s'annule pour a: := a -h W ; le second membre admet donc le facteur a? — a — bi. On voit que ce fadeur appartient à Qj, parce que s'il appartenait à Q,, il serait facteur double de f{x)f ce que nous ne supposons pas. En poursuivant ce raisonnement on trouve successivement PjSQ,,P,s:Q,, etc.. Les deux décompositions sont donc identiques.

Nous signalerons encore quelques conséquences importantes du théorème de d'Alembert.

360. Théorème. Si f{x) = o désigne une équation, à coefficients réels, elle admet le même nombre de fois la racine {a -h ôt), et la racine conjuguée [a — bi).

En remplaçant x par a -j- bi^ dans f{x), on a

f{a-\-bi)-'9—(ii.

et aussi, comme nous Pavons montré précédemment {% i3i)

Si Ton suppose f{a -j- bi) — o, on a P ::z o et Q — o ; et, par suite

f(a — bi) 1=0.

On a donc

/•(ic) =: (x — a — 6 0 (iP — « 4- 6 i) ? {x)

ç (x) étant une fonction entière. On peut remarquer que les coefficients de ? {x) sont réels. En effet, Tidentité précédente peut s'écrire

f{x):^{[x-af'^b']^{xy, le polynôme ç(ir) est donc le quotient de f{x\ polynôme qui)

THÉORÈME DE D'ÂLEMBERT 399

par hypothèse, n'a que des coefficients réels, par le trinôme du second degré {x — a)* + b* ; cette remarque prouve que o(x) est bien un polynôme à coefficients réels. En raisonnant sur ç(ir), comme nous Tavonsfeit sur/*(j?), et ainsi de suite, on aboutit à la propriété énoncée.

3B1. Théorème. Une fonction entièi^e f{x)y à coefficients réelSy est toujours décomposable, identiquement, en facteurs réels du premier f ou du second degré.

Cette propriété est la conséquence évidente de ce qui précède.

Soit f[x) — o réquation proposée et soit P le produit des facteurs binômes linéaires qui correspondent aux racines réelles. On a donc

réquation 9 (a;) ir o a tous ces coefficients réels et n'a que des racines imaginaires. Nous avons montré, au paragraphe précédent, que ç (x) était décomposable en facteurs réels du second degré ; finalement on peut donc dire que f{x) est décomposable en facteurs réels du premier, ou du second degré.

3619. Théorème. Si deux équations f{x)z=.o, 9(0?) =0 admettent les mêmes racines, et chacune de celles-ci avec le même degré de multiplicité, on a

f{x)zs:\^[x)\

X désignant un coefficient indépendant de x, qui n'est ni nul,

ni infini.

On a en effet, comme nous l'avons fait voir tout à Theure,

/•(a;)=:AoP.(P.r...(P/ et, d'après l'hypothèse

ç(x)=:B«P,(P.r.-.(PA)'*.

On tire de là

Bo/*(a:)sAo?(a:),

OU bien

f[x) = ^(x) en posant

X désignant une quantité qui n^est ni nulle, ni infinie.

3G3. Théorème. La fonction f{x) s'annule, en chaîigeant de signe, si xzzx est une racine 7*éelle de multiplicité impaire: au contraire f{x) s'annule, sans changer de signe, quand x désigne une racine réelle, de muUiplicité paire.

Pour préciser cet énoncé il faut imaginer que x est une variable indépendante et que Ton calcule, à chaque instant, la valeur de la fonction /*(a?), quand x varie de — » à -f- x, toujours dans le même sens. Si Ton donne à x les trois valeurs

il en résulte, pour f(x), les valeurs correspondantes :

s désignant une quantité positive et que Ton peut supposer aussi petite que Ton voudra.

Soit k le degré de multiplicité de la racine a : on a

Comme nous supposons s {x) ;zf o, on peut choisir £, assez petit pour que s (x) conserve le même signe, quand x varie dans rintervalle x — e, a -h e.

On a d'ailleurs

D'après cela, si k est impair^ on a

on B, au contraire^

si k est pair.

4 . Dfhnonlrer que « toutes les racines d'une équation f [x) i= o, d'i/n degré impair w, sont des nombres en progression géométrique ; la racifie

jj^teme^ cfiangée de signe, du teigne tout connu de Véquation, est une racine de f équation.

Soient a, aq, ... aq^*^"^ les tn raciueî* ; ou u d'après le théorème de d'A- Iciuberl,

f{x)^z{x ■-a){x — aq) ... {x — aq^'^) ;

Le» terme tout coimii est /*(<)). Ou a d'ailleurs

et, |mr suite,

m-l V/(o) - -^aq ' .

Ou remarque eutiu que est i;u uum]ii*e eulier, qui fait partie de la

suite I, j, ... (»j— i).