THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS

l. Nous allons exposer, dans cette leçon, quelques propriétés relatives aux équations d'un degré quelconque et nous prévenons ici, pour éviter des redites inutiles, que les équations que nous examinerons seront supposées satisfaire aux conditions suivantes:

1* Elles auront la forme entière et le second membre sera égal à zéro ;

a* Elles seront ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de X ;

> Les coefficients seront réels ;

4* Le premier coefficient Ao sera supposé positif, et le dernier coefficient A^, différent de zéro.

»• Théorème !• Soit f{x) r: o une équation; si le produit f{(x) f{t) est négatifs il y a au moins une racine comprise entre a et 6.

En effet f{x) est une fonction continue (§ 234); elle ne peut, par conséquent, passer d'une valeur positive à une valeur négative sans s'annuler, une fois au moins, pour une valeur de Xy comprise entre a et 6 (g 23o).

S0B. Théorème 11. Une équation d'un degré impair a au moins une racine réelle ; cette racine ayant un signe contraire à celui du dernier terme.

Soit A^^ le premier terme de Téquation proposée f{x) — p,

et A,„ le dernier terme. Substituons successivement, dans /"(a?), 1*" un nombre positif très grand ; a^ zéro; 3<> un nombre' néga-

tif très grand, en valeur absolue. La première subsUtution

donne un résultat positif {$ 235) ; comme m est impair Aoo;" a le signe -— , lorsqu'on donne à x une valeur négative ; la troisième substitution fait donc acquérir à la fonction f{x) une valeur négative.

D'après cette remarque, et en s'appuyant sur le théorème précédent, on voit que si A^ est négatif il y a une racine entre

o et -|- » ; au contraire, si Ton suppose A^ > o, on voit que Té-

quation proposée admet une racine, entre o et œ. En résumé, dans tous les cas, on peut donc dire que f{x)rzo a une racine d'un signe contraire à son dernier terme.

SBV. Théorème 111. Une équation dont le degré est pair, et dont le dei*nier terme est négatif a, au moins, deux racines réelleSy Cune positive, l'autre négative.

En effet, en substituant -|- », o, et — », on peut former le tableau suivant

j; I -f- 00 () — ex

Le théorème (I) prouve qu'il y a: i« au moins une racine entre -h » et o ; 2® au moins une autre racine entre o et — »• Li proposition se trouve ainsi établie.