Théorème IV. Soit V équation f(x) = o; si Pan a

il y a un nombre impair de racines dans rintervalle xet^; si Von suppose, au contraire,

ily a zéro, ou un nombre pair de racines, entre x et g.

Désignons par j?,, o:,, . . a:^ les racines de l'équation, comprises entre a et 0. On a

9(x) izo n'ayant que des racines imaginaires, ou des racines réelles, mais non comprises dans Tintervalle a, ^. L'identité précédente donne, successivement,

/(«) = (»— ^,)(«- ^.) •••(« — ^p)? (a) et

par suite

On remarquera d'abord que le rapport ^^^ est positif; car

si ç (a) et 9 (P) étaient de signes contraires, Péqualion <p (x) iz: o, admettrait au moins une racine entre a et ^ (^ 365), ce que nous ne supposons pas. D'autre part chacune des fractions

a une valeur négative puisque chacun des nombres x^y a?^, ... X est compris entre a et p. Si /"(a) et /(g) ont des signes

contraires, le nombre des fractions (A) est impair: il y a donc un nombre impair de racines dans l'intervalle considéré. Au contraire si /"(a) et f{^) ont le même signe, on doit admettre, ou qu'il n^existe aucune fraction (A), ou qu'elles sont en nombre pair.

3BO. Remarque. On peut observer que la démonstration précédente ne suppose pas que a?,, par exemple, soit différent de a;,. Les racines comprises dans Pintervalle a? 0 doivent donc être comptées, quand on applique le théorème précédent, A\\ théorème des substitutions^ avec leur degré de multiplicité. Soit par exemple

f(x) s: (a: - i)' [x - îi)' (a;' -h i)

on a

/^(3) = 4o, et A«) = -8.

Entre o et 3 il y a, à prendre les choses à la lettre, deux racines réelles, i et a ; mais on doit dire, pour se confonner à la démonstration précédente, qu*il y a, dans cet intervalle, cinq racines réelles; savoir, deux racines égales à i, et trois racines égales à 2.

BKO. Définitioiis. Lorsqu'une équation du degré m

a tous ses coefficients Ao, A4, ... A„, différents de zéro, on dit que V équation est complète ; au contraire si Ajt est suivi

du terme Ap j^ia?'""^"*~*, on dit qu'entre ces deux termes il

existe une lacune. Cette lacune est paire ou impaire suivant que le nombre A, des termes absents, est lui-même pair ou impair.

Lorsque les coefficients de deux termes consécutifs ont le même signe, ces termes forment une permanence ; on dit au contraire qu'ils offrent une variation^ quand leurs coefficients ont des signes contraires.

Nous adopterons les notations suivantes :

f(x):^\ ox"' -i- A.a?'"""* + . , . -f A^ rz o (équation donnée),

P, nombre des racines positives,

N, id. négatives,

2I, id. imaginaires,

V, nombre de variations du polynôme f (x),

y, id. id- A--^).

avi. Théorème. Lorsque f{x) est un polynôme complet, onaW-i-y'zzm; siy au contraire f{x) présente des lacunes, V -h V est égaly ou inférieur à m.

Considérons 4'abord le cas où f (x) est complet ; ce polynôme renferme alors (w -+- 1) termes. Les deux premiers

termes offrent, soit une permanence, soit une variation ; et chacun des termes suivants, lesquels sont en nombre égal à (m — i), fournit une permanence, ou une variation : ce qui prouve que dans un polynôme complet le nombre des varia^ lions et des permanences est égal au degré m du polynôme. D'ailleurs chaque permanence de f{x) devient une variation de /"(—a?); on a donc V-+-V' z=m.

Prenons maintenant un polynôme offrant des lacunes et considérons l'une d'entre elles, en particulier; par exemple celle des deux termes

termes qui sont consécutifs, dans le polynôme ordonné.

Nous allons étudier l'effet produit par cette lacune sur l'abaissement du nombre V -h V.

Supposons, en premier lieu, que la lacune soit paire ; posons h =r 'xk. et

Si la lacune n'existait pas, la parenthèse de Tégalité précédente serait formée par un polynôme de degré (^4- 1), polynôme qui fournirait au nombre V -+- V, A -h t ou aA-f- 1 unités. D'ailleurs (A -h i) étant impair, les deux termes consécutifs que nous considérons ont des exposants de parités différentes ; ces termes offrent donc une variation dans /"(a?), ou dans f (— x), mais une seule : par suite, ils fournissent une seule unité au nombre V-+-V' ; la présence de la lacune diminue donc V H- V de 2k unités.

Il nous reste à examiner le cas d'une lacune impaire. Soit A = 2ib -f- 1 ; /r pouvant être nul. En raisonnant comme nous venons de le faire, on voit :

1* Que si Aj, et A^^^, ont le même signe, V h- V est diminué de 2k +2 unités ;

a* Que si A^ et A^^^^ ont des signes contraires, V + V

est diminué de 2k unités.

408 VINGT-HUlTIÊME LEÇON

Ainsi dans tous les cas on a V + V ^ m ; et Ton peut dire que la présence d'une lacune abaisse toujours le nombre

V -j- v ; excepté lorsque cette lacune est formée par deux termes, ayant : i*" des signes contraires ; i"" des exposants différant de deux unités seulement.

^It9. Théorème. Le nombre des racines positives d'une équation, et le nombre des variations de son premier membre sont, ou égauXy ou de même parité.

Supposons d'abord que Ton ait A^>o, les substitutions

o et + 00 donnent Tun et l'autre le signe + ; par suite le nombre P des racines positives est zéro, ou un nombre pair, 2Â. D'autre part, dans un polynôme dont les termes extrêmes ont le même signe, le nombre V des variations est zéro, ou un nombre pair, 2A;'. Ainsi V — P est zéro, ou égal à 2 (ft' — k). Dans le c^s où Ton suppose A,„ < «, on voit, de même, que

V et P sont deux nombres impairs ; leur différence est donc encore égale à zéro, ou à un nombre pair.