Théorème. Entre les coefficients A© A, ... A^ de Vè
quation k^x^ 4- • • . + A^ zz «, e^ les racines a-, a;, . . . x^y réelles ou imaginaires de cette équation, on a les relations :
"T~ \ "■" 1 ) ~T — ■— ^^tXj */7j • t « X,
jn "* ■y 'y* nr
Dans ces égalités Sa?,ir, ... a:^ désigne la somme des produits différents que Ton peut obtenir avec les m nombres x^x^ . . . OTp, combinés php.
Ces relations sont la conséquence évidente de l'identité, établie précédemment (§ 35;)
En effet, si Ton effectue le calcul indiqué dans le second
membre, on voit que tous les termes en a:*"^ s'obtiennent en prenant la lettre x dans {m — p) binômes, et les lettres munies d'indices, dans les p autres binômes. Par exemple, un des termes dont nous parlons ici, est
ou
Ao{—iYx^x^..,x^x'"^^'
Le coefficient de x^"^ dans le second membre est donc et rid.enli té ( i ) donne
A — f i ) \^^^XyX^ . . . X •
894. Remarque. Si Ton cherche à combiner les relations précédentes de façon à obtenir une égalité ne renfermant plus que J?,, on trouve précisément
On peut remarquer à priori, qu'il n'en peut être autrement, car tout calcul semblable à celui que nous venons d'imaginer peut se répéter, identiquement, avec les lettres .r„ a?,, ... a?,^^.
On ne peut donc pas trouver une combinaison F (jJj) iz « sans que Ton ait aussi nécessairement F (a?,) =0, ... F(a;J=:«.
Ainsi a?!, a;,, ... a;^, sont racines de l'équation F (a;) — o : celle-ci
est donc identique à /* (a;) = o ; à moins qu'elle ne soit dHm degré supérieur.
On peut d'ailleurs vérifier qu'en éliminant a?„ a;,, ... a?^ ; on
retombe bien sur l'égalité (/"a?,) = o. En effet, les relations (H) étant écrites sous la forme :
Ao
Ao
Multiplions-les respectivement par — a^r"', -ha^T"'» •••
( — if^^Xt et (— i)*" ; les égalités ainsi obtenues étant ajoutées, on trouve bien, après avoir tenu compte des simplificalions que comporte le résultat, f(x^) rz o.
LES FONCTIONS SYMETRIQUES.
- SUS. Définitions . Les relations que nous avons trouvées entre les racines et les coefficients d'une équation conduisent assez naturellement à l'étude des formes symétriques.
Une forme algébrique des lettres a et h est dite symétrique, par rapport à ces lettres, lorsqu'elle reste identique à elle* même par la permutation de a en b, et de b en a. Ainsi
«• -f- 6* — aby a'^b' — a'b — b'a,
sont des formes symétriques de a et de b.
Généralement, une forme des lettres a, 6, ... l, est symétrique par rapport à ces lettres lorsqu'elle ne change pas quand on permute^ l'une dans l'autre, et successivement, ces lettres combinées deux à deux.
La forme
a^ ^b* + c* — T^abc
LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES il 1
est symétrique par rapport aux lettres a, by c. Au contraire
n'est pas une forme symétrique.
Kous nommerons forme symétrique simple Texpression
dans laquelle p désigne un nombre entier et positif ; et nous poserons
Nous appellerons aussi forme symélrique simple l'expression
nous la désignerons par S^^.
Les formes symétriques qui ne sont pas simples sont dites farines symétriques composées. Par exemple
est une forme symétrique, composée.
En supposant que a, 6, ... l soient les m racines, réelles ou imaginaires, de Téquation
U = AoX^'-f- A,a;"*"' -4- ... + A„, =: o
nous allons chercher la valeur des formes symétriques des racines a, b, ... /, en fonction des coefficients Ao, A^, ... A^.
89B. Formnles de Mewton. Soit U = o l'équation proposée. L'identité
Us: (a? — a) (a? — b) ... {x — l)A^;
donne
U'=:S(a? -6)...(x--0Ao.
On en déduit,
ou,
(0 r'isS
On a d'ailleurs
^3^ = A^"'-' + (A, + «>"--+ (a' + A,rt+A.)ar'"-V . . .
Il résulte de cette identité, appliquée successivement aux V U
fonctions
(a) 2 — — sAoMix"*-' +(S,+MiA,)x"'-*+(S,+ A.S, + >nA,)ù" D'autre pari on sait que Ton a
Des identités (i), (2) et (3) ; on déduit les formules suivantes
AoS, -h A, = 0
A,.Sj + A, S, + îA, — o
/pj\ i AoS, -h A,S, -l-A,S, H-^A, — o
AoS„,^, -^ A,S^,-f- ... + (m - 1) A,„, = o.
Ces formules permettent de calculer successivement les inconnues S4, S„ S,, ... S^,. On trouve ainsi As; — « \
Ar)>t = Aï - îAjAu
A<l^*3 — — Aj -p «lAoAjAj "^ .*AjAy
aJs^ - AÎ - 4AÎA.A, -h îA.AjAJ + 9.aJa| - 4A4A0.
LES raNCriONS SYMÉTRIQUES 4t3
Il nous reste à montrer comment on calcule les fonctions S^S p etc., et aussi les fonctions S p S 3, elc...
On a, par la définition même des nombres a, b, ..« /,
;Aoa'^ + A,a'"-+ . -+-A,„zzn
^^^ ,Ao«^"-^A./r-'+ .. + A,„-o
A/'* + A,/"' ' -f- ... -H A,,, zi ».
De ces égalités, on lire^
(N') AoS^ -+■ A.S^., -f ... + A,,S, + mX^ - «,
relation qui permet de trouver S„ quand on a, préalablement, calculé St, S,... S„j p au moyen des formules (N). Multiplions maintenant les égalités (i) respectivement par
a*, 6*, ... /*, et ajoutons ces résultats ; nous obtenons l'égalité
Si dans cette relation qui a lieu quel que soit le nombre entier, positif, h, on donne à k successivement les valeurs 1, a, 3, etc., on forme un tableau qui, avec les égalités (N) et (N'), permet de ciilculer, par voie récurrente, toutes les inconnues S,, quelle que soit la valeur du nombre entier et
positif, z.
Les fonctions symétriques simples S. se calculent aussi,
par voie récurrente, au moyen de formules que nous allons donner et qui sont, d'ailleurs, la conséquence immédiate des relations (N), (N') et (N"), que nous venons d*élablir. Soit /■ (x) zz o l'équation proposée ; considérons Téquation
ou, ç (x) = o, en posant
ç (x) :si k^3^ ■ ( A„,a!"'"' + . . . + A, x + A..
f (x) se nomme Véquation aux inverses^ parce qu'elle admet
pour racines les m nombres -»t9 •••t* Etablissons d*abord ce point. De Tidentité
on déduit
'fâ =?«"■' ^ •
et» comme Ton suppose /"(a) = o, on a donc bien
Cette remarque étant faite, les formules (N), (N') (N') appliquées à réquation 9 (a;) = 0 donnent les relations
Les formules (N), (N'), (N"), (N*'), dites formules de Newton, résolvent complètement le problème que nous nous étions posé, et qui avait pour but le calcul des fondions symétriques simples.
SW» Ponetions symétriques CN^mposées. 1® Imagi* nous une forme symétrique des lettres a, b,... l; ces lettres étant affectées des exposants p et g et posons
Pour calculer S ^, qu'on nomme fonction symétrique double, considérons les deux identités
Si nous les multiplions, membre à membre, les termes des seconds membres seront multipliés deux à deux, et ces multiplications seront de deux espèces, suivant qu'elles ont lieu pour des termes A, B^ disposés comme l'indiquent les tableaux (i) et (2]
Les multiplications du premier genre donnent la fonction symétrique simple S^^ ; les autres S^^ . On a donc
formule qui permet de calculer la fonction symétrique composée S puisque nous connaissons les fonctions symétriques simples S^, S^ et S^^.
a^" Considérons, maintenant, une forme symétrique dans laquelle les lettres sont affectées d'exposants p, q, r^ et posons
On a
S^sa^+6* + ... + /^
Si nous multiplions, membres à membres, ces trois identités, les termes des seconds membres seront multipliés trois à trois et ces multiplications peuvent être distinguées en trois espèces, suivant que les termes A, B, G, que Ton considère, sont disposés comme l'indiquent les tableaux (t), Wet(3);
Les multiplications qui correspondent à la figure ( i ) donnent la fonction symétrique simple S^^j^ ; celles qui correspondent
à la figure (2) fournissent les fonctions symétriques doubles
enfin les multiplications de la troisième espèce donnent li fonction symétrique cherchée S^ ^ ^. On a donc
Celte formule permet de calculer S^ ^^;et,ens'appuyanl sur Tidentilé
on trouve finalement
La démonstration que nous venons de donner pour établii les formules qui permettent de calculer les fonctions symétriques doubles et triples est susceptible d'une généralisaiios évidente et sur laquelle nous n'insisterons pas autrement. Il résulte, de ce calcul, ce fait important : Toutes les formes sy* métriques composées peuvent s'exprimer au moyen d'une fonc tion entière des formes simples.
8*98. Théorème. Toute fonction rationnelle et symetriqui des racines d\ine équation s'expiHme rationnellement en fonc tion des coefficients.
Les formules de Newton prouvent que les fonctions symétriques simples des racines s'expriment rationnellement en fonction des coefficients. D'autre part nous venons de remarquer que les fonctions symétriques composées s'expriment rationnellement au moyen des fonctions symétriques. De là résulte la propriété énoncée.
f . V équation
ians laquelle on suppose
2S?mA, r:(w - i)At
a 7iécessairefnent des racines imaginaires, si elle 71 est pas une puissance «"^ exacte.
On remarquera qu'en désignant les racines par x„ i-j ... x^, on a par ivpo thèse
\^x,x, -{m^i){x,+x^...-\- xj^
OD
{^i-^x,-'+xJ-m{x] + )xl.,.-\-xl)
OQ encore
{x,~x,y+ (x-, -a?,)* + ... + (X, -xj + (•«, — a:,)' -(-... -4- (ar. — a; J'
' «. Exprimer que dans V équation générale du troisième degré, une racine W la somme des deux autres, et résoudre l'équation dans ce cas partiulier.
L'équation étant représentée par
x^-hpx*-{'qx-hrzzoy Iq trouve
P^ — âpg -h 8r =z 0.
I Les racines sont
x,zz-t.
^z = ^ (—;>— vV — !(></).
3. Exprimer qu'une racine de L'équation du troisième degré est fnoyenne arithmélique, ou moyenne géométrique, entre les deux auttvs.
